HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  imaelshi Unicode version

Theorem imaelshi 22654
Description: The image of a subspace under a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rnelsh.1  |-  T  e. 
LinOp
imaelsh.2  |-  A  e.  SH
Assertion
Ref Expression
imaelshi  |-  ( T
" A )  e.  SH

Proof of Theorem imaelshi
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5041 . . . 4  |-  ( T
" A )  C_  ran  T
2 rnelsh.1 . . . . . 6  |-  T  e. 
LinOp
32lnopfi 22565 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
4 frn 5411 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ran 
T  C_  ~H )
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  ran  T  C_ 
~H
61, 5sstri 3201 . . 3  |-  ( T
" A )  C_  ~H
72lnop0i 22566 . . . 4  |-  ( T `
 0h )  =  0h
8 imaelsh.2 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
9 sh0 21811 . . . . . 6  |-  ( A  e.  SH  ->  0h  e.  A )
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  0h  e.  A
11 ffun 5407 . . . . . . 7  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  Fun 
T )
123, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  T
138shssii 21808 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~H
143fdmi 5410 . . . . . . 7  |-  dom  T  =  ~H
1513, 14sseqtr4i 3224 . . . . . 6  |-  A  C_  dom  T
16 funfvima2 5770 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  T  /\  A  C_ 
dom  T )  -> 
( 0h  e.  A  ->  ( T `  0h )  e.  ( T " A ) ) )
1712, 15, 16mp2an 653 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  A  ->  ( T `  0h )  e.  ( T " A
) )
1810, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( T `
 0h )  e.  ( T " A
)
197, 18eqeltrri 2367 . . 3  |-  0h  e.  ( T " A )
206, 19pm3.2i 441 . 2  |-  ( ( T " A ) 
C_  ~H  /\  0h  e.  ( T " A ) )
21 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  T  Fn  ~H )
223, 21ax-mp 8 . . . . 5  |-  T  Fn  ~H
23 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( T `  x )  ->  (
u  +h  v )  =  ( ( T `
 x )  +h  v ) )
2423eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( T `  x )  ->  (
( u  +h  v
)  e.  ( T
" A )  <->  ( ( T `  x )  +h  v )  e.  ( T " A ) ) )
2524ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( T `  x )  ->  ( A. v  e.  ( T " A ) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. v  e.  ( T " A
) ( ( T `
 x )  +h  v )  e.  ( T " A ) ) )
2625ralima 5774 . . . . 5  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  -> 
( A. u  e.  ( T " A
) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. x  e.  A  A. v  e.  ( T " A ) ( ( T `  x
)  +h  v )  e.  ( T " A ) ) )
2722, 13, 26mp2an 653 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( T " A ) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. x  e.  A  A. v  e.  ( T " A ) ( ( T `  x
)  +h  v )  e.  ( T " A ) )
288sheli 21809 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
298sheli 21809 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
302lnopaddi 22567 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y ) ) )
3128, 29, 30syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y ) ) )
32 shaddcl 21812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  SH  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +h  y
)  e.  A )
338, 32mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +h  y
)  e.  A )
34 funfvima2 5770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  T  /\  A  C_ 
dom  T )  -> 
( ( x  +h  y )  e.  A  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  e.  ( T
" A ) ) )
3512, 15, 34mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  +h  y )  e.  A  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  e.  ( T " A
) )
3633, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  e.  ( T
" A ) )
3731, 36eqeltrrd 2371 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
3837ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) )
39 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
( T `  x
)  +h  v )  =  ( ( T `
 x )  +h  ( T `  y
) ) )
4039eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
( ( T `  x )  +h  v
)  e.  ( T
" A )  <->  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) ) )
4140ralima 5774 . . . . . 6  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  -> 
( A. v  e.  ( T " A
) ( ( T `
 x )  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. y  e.  A  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) ) )
4222, 13, 41mp2an 653 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ( T " A ) ( ( T `  x )  +h  v )  e.  ( T " A
)  <->  A. y  e.  A  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
4338, 42sylibr 203 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  A. v  e.  ( T " A
) ( ( T `
 x )  +h  v )  e.  ( T " A ) )
4427, 43mprgbir 2626 . . 3  |-  A. u  e.  ( T " A
) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )
452lnopmuli 22568 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  =  ( u  .h  ( T `  y ) ) )
4629, 45sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  =  ( u  .h  ( T `  y ) ) )
47 shmulcl 21813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  SH  /\  u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
u  .h  y )  e.  A )
488, 47mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( u  .h  y
)  e.  A )
49 funfvima2 5770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  T  /\  A  C_ 
dom  T )  -> 
( ( u  .h  y )  e.  A  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  e.  ( T
" A ) ) )
5012, 15, 49mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  .h  y )  e.  A  ->  ( T `  ( u  .h  y ) )  e.  ( T " A
) )
5148, 50syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  e.  ( T
" A ) )
5246, 51eqeltrrd 2371 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( u  .h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
5352ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( u  e.  CC  ->  A. y  e.  A  ( u  .h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) )
54 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
u  .h  v )  =  ( u  .h  ( T `  y
) ) )
5554eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
( u  .h  v
)  e.  ( T
" A )  <->  ( u  .h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) ) )
5655ralima 5774 . . . . . 6  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  -> 
( A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. y  e.  A  ( u  .h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) ) )
5722, 13, 56mp2an 653 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ( T " A ) ( u  .h  v )  e.  ( T " A
)  <->  A. y  e.  A  ( u  .h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
5853, 57sylibr 203 . . . 4  |-  ( u  e.  CC  ->  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A ) )
5958rgen 2621 . . 3  |-  A. u  e.  CC  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A )
6044, 59pm3.2i 441 . 2  |-  ( A. u  e.  ( T " A ) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  /\  A. u  e.  CC  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A ) )
61 issh2 21804 . 2  |-  ( ( T " A )  e.  SH  <->  ( (
( T " A
)  C_  ~H  /\  0h  e.  ( T " A
) )  /\  ( A. u  e.  ( T " A ) A. v  e.  ( T " A ) ( u  +h  v )  e.  ( T " A
)  /\  A. u  e.  CC  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A ) ) ) )
6220, 60, 61mpbir2an 886 1  |-  ( T
" A )  e.  SH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .h csm 21517   0hc0v 21520   SHcsh 21524   LinOpclo 21543
This theorem is referenced by:  rnelshi  22655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-neg 9056  df-hvsub 21567  df-sh 21802  df-lnop 22437
  Copyright terms: Public domain W3C validator