HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  imaelshi Structured version   Unicode version

Theorem imaelshi 23563
Description: The image of a subspace under a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rnelsh.1  |-  T  e. 
LinOp
imaelsh.2  |-  A  e.  SH
Assertion
Ref Expression
imaelshi  |-  ( T
" A )  e.  SH

Proof of Theorem imaelshi
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5218 . . . 4  |-  ( T
" A )  C_  ran  T
2 rnelsh.1 . . . . . 6  |-  T  e. 
LinOp
32lnopfi 23474 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
4 frn 5599 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ran 
T  C_  ~H )
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  ran  T  C_ 
~H
61, 5sstri 3359 . . 3  |-  ( T
" A )  C_  ~H
72lnop0i 23475 . . . 4  |-  ( T `
 0h )  =  0h
8 imaelsh.2 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
9 sh0 22720 . . . . . 6  |-  ( A  e.  SH  ->  0h  e.  A )
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  0h  e.  A
11 ffun 5595 . . . . . . 7  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  Fun 
T )
123, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  T
138shssii 22717 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~H
143fdmi 5598 . . . . . . 7  |-  dom  T  =  ~H
1513, 14sseqtr4i 3383 . . . . . 6  |-  A  C_  dom  T
16 funfvima2 5976 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  T  /\  A  C_ 
dom  T )  -> 
( 0h  e.  A  ->  ( T `  0h )  e.  ( T " A ) ) )
1712, 15, 16mp2an 655 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  A  ->  ( T `  0h )  e.  ( T " A
) )
1810, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( T `
 0h )  e.  ( T " A
)
197, 18eqeltrri 2509 . . 3  |-  0h  e.  ( T " A )
206, 19pm3.2i 443 . 2  |-  ( ( T " A ) 
C_  ~H  /\  0h  e.  ( T " A ) )
21 ffn 5593 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  T  Fn  ~H )
223, 21ax-mp 8 . . . . 5  |-  T  Fn  ~H
23 oveq1 6090 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( T `  x )  ->  (
u  +h  v )  =  ( ( T `
 x )  +h  v ) )
2423eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( T `  x )  ->  (
( u  +h  v
)  e.  ( T
" A )  <->  ( ( T `  x )  +h  v )  e.  ( T " A ) ) )
2524ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( T `  x )  ->  ( A. v  e.  ( T " A ) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. v  e.  ( T " A
) ( ( T `
 x )  +h  v )  e.  ( T " A ) ) )
2625ralima 5980 . . . . 5  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  -> 
( A. u  e.  ( T " A
) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. x  e.  A  A. v  e.  ( T " A ) ( ( T `  x
)  +h  v )  e.  ( T " A ) ) )
2722, 13, 26mp2an 655 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( T " A ) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. x  e.  A  A. v  e.  ( T " A ) ( ( T `  x
)  +h  v )  e.  ( T " A ) )
288sheli 22718 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
298sheli 22718 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
302lnopaddi 23476 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y ) ) )
3128, 29, 30syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y ) ) )
32 shaddcl 22721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  SH  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +h  y
)  e.  A )
338, 32mp3an1 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +h  y
)  e.  A )
34 funfvima2 5976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  T  /\  A  C_ 
dom  T )  -> 
( ( x  +h  y )  e.  A  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  e.  ( T
" A ) ) )
3512, 15, 34mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  +h  y )  e.  A  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  e.  ( T " A
) )
3633, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  e.  ( T
" A ) )
3731, 36eqeltrrd 2513 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
3837ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) )
39 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
( T `  x
)  +h  v )  =  ( ( T `
 x )  +h  ( T `  y
) ) )
4039eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
( ( T `  x )  +h  v
)  e.  ( T
" A )  <->  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) ) )
4140ralima 5980 . . . . . 6  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  -> 
( A. v  e.  ( T " A
) ( ( T `
 x )  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. y  e.  A  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) ) )
4222, 13, 41mp2an 655 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ( T " A ) ( ( T `  x )  +h  v )  e.  ( T " A
)  <->  A. y  e.  A  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
4338, 42sylibr 205 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  A. v  e.  ( T " A
) ( ( T `
 x )  +h  v )  e.  ( T " A ) )
4427, 43mprgbir 2778 . . 3  |-  A. u  e.  ( T " A
) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )
452lnopmuli 23477 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  =  ( u  .h  ( T `  y ) ) )
4629, 45sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  =  ( u  .h  ( T `  y ) ) )
47 shmulcl 22722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  SH  /\  u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
u  .h  y )  e.  A )
488, 47mp3an1 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( u  .h  y
)  e.  A )
49 funfvima2 5976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  T  /\  A  C_ 
dom  T )  -> 
( ( u  .h  y )  e.  A  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  e.  ( T
" A ) ) )
5012, 15, 49mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  .h  y )  e.  A  ->  ( T `  ( u  .h  y ) )  e.  ( T " A
) )
5148, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  e.  ( T
" A ) )
5246, 51eqeltrrd 2513 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( u  .h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
5352ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( u  e.  CC  ->  A. y  e.  A  ( u  .h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) )
54 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
u  .h  v )  =  ( u  .h  ( T `  y
) ) )
5554eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
( u  .h  v
)  e.  ( T
" A )  <->  ( u  .h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) ) )
5655ralima 5980 . . . . . 6  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  -> 
( A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. y  e.  A  ( u  .h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) ) )
5722, 13, 56mp2an 655 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ( T " A ) ( u  .h  v )  e.  ( T " A
)  <->  A. y  e.  A  ( u  .h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
5853, 57sylibr 205 . . . 4  |-  ( u  e.  CC  ->  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A ) )
5958rgen 2773 . . 3  |-  A. u  e.  CC  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A )
6044, 59pm3.2i 443 . 2  |-  ( A. u  e.  ( T " A ) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  /\  A. u  e.  CC  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A ) )
61 issh2 22713 . 2  |-  ( ( T " A )  e.  SH  <->  ( (
( T " A
)  C_  ~H  /\  0h  e.  ( T " A
) )  /\  ( A. u  e.  ( T " A ) A. v  e.  ( T " A ) ( u  +h  v )  e.  ( T " A
)  /\  A. u  e.  CC  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A ) ) ) )
6220, 60, 61mpbir2an 888 1  |-  ( T
" A )  e.  SH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   dom cdm 4880   ran crn 4881   "cima 4883   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   ~Hchil 22424    +h cva 22425    .h csm 22426   0hc0v 22429   SHcsh 22433   LinOpclo 22452
This theorem is referenced by:  rnelshi  23564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-hilex 22504  ax-hfvadd 22505  ax-hvass 22507  ax-hv0cl 22508  ax-hvaddid 22509  ax-hfvmul 22510  ax-hvmulid 22511  ax-hvdistr2 22514  ax-hvmul0 22515
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127  df-sub 9295  df-neg 9296  df-hvsub 22476  df-sh 22711  df-lnop 23346
  Copyright terms: Public domain W3C validator