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Theorem imaelshi 22638
Description: The image of a subspace under a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rnelsh.1  |-  T  e. 
LinOp
imaelsh.2  |-  A  e.  SH
Assertion
Ref Expression
imaelshi  |-  ( T
" A )  e.  SH

Proof of Theorem imaelshi
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5025 . . . 4  |-  ( T
" A )  C_  ran  T
2 rnelsh.1 . . . . . 6  |-  T  e. 
LinOp
32lnopfi 22549 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
4 frn 5395 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ran 
T  C_  ~H )
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  ran  T  C_ 
~H
61, 5sstri 3188 . . 3  |-  ( T
" A )  C_  ~H
72lnop0i 22550 . . . 4  |-  ( T `
 0h )  =  0h
8 imaelsh.2 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
9 sh0 21795 . . . . . 6  |-  ( A  e.  SH  ->  0h  e.  A )
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  0h  e.  A
11 ffun 5391 . . . . . . 7  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  Fun 
T )
123, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  T
138shssii 21792 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~H
143fdmi 5394 . . . . . . 7  |-  dom  T  =  ~H
1513, 14sseqtr4i 3211 . . . . . 6  |-  A  C_  dom  T
16 funfvima2 5754 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  T  /\  A  C_ 
dom  T )  -> 
( 0h  e.  A  ->  ( T `  0h )  e.  ( T " A ) ) )
1712, 15, 16mp2an 653 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  A  ->  ( T `  0h )  e.  ( T " A
) )
1810, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( T `
 0h )  e.  ( T " A
)
197, 18eqeltrri 2354 . . 3  |-  0h  e.  ( T " A )
206, 19pm3.2i 441 . 2  |-  ( ( T " A ) 
C_  ~H  /\  0h  e.  ( T " A ) )
21 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  T  Fn  ~H )
223, 21ax-mp 8 . . . . 5  |-  T  Fn  ~H
23 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( T `  x )  ->  (
u  +h  v )  =  ( ( T `
 x )  +h  v ) )
2423eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( T `  x )  ->  (
( u  +h  v
)  e.  ( T
" A )  <->  ( ( T `  x )  +h  v )  e.  ( T " A ) ) )
2524ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( T `  x )  ->  ( A. v  e.  ( T " A ) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. v  e.  ( T " A
) ( ( T `
 x )  +h  v )  e.  ( T " A ) ) )
2625ralima 5758 . . . . 5  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  -> 
( A. u  e.  ( T " A
) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. x  e.  A  A. v  e.  ( T " A ) ( ( T `  x
)  +h  v )  e.  ( T " A ) ) )
2722, 13, 26mp2an 653 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( T " A ) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. x  e.  A  A. v  e.  ( T " A ) ( ( T `  x
)  +h  v )  e.  ( T " A ) )
288sheli 21793 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
298sheli 21793 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
302lnopaddi 22551 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y ) ) )
3128, 29, 30syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y ) ) )
32 shaddcl 21796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  SH  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +h  y
)  e.  A )
338, 32mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +h  y
)  e.  A )
34 funfvima2 5754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  T  /\  A  C_ 
dom  T )  -> 
( ( x  +h  y )  e.  A  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  e.  ( T
" A ) ) )
3512, 15, 34mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  +h  y )  e.  A  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  e.  ( T " A
) )
3633, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  e.  ( T
" A ) )
3731, 36eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
3837ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) )
39 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
( T `  x
)  +h  v )  =  ( ( T `
 x )  +h  ( T `  y
) ) )
4039eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
( ( T `  x )  +h  v
)  e.  ( T
" A )  <->  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) ) )
4140ralima 5758 . . . . . 6  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  -> 
( A. v  e.  ( T " A
) ( ( T `
 x )  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. y  e.  A  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) ) )
4222, 13, 41mp2an 653 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ( T " A ) ( ( T `  x )  +h  v )  e.  ( T " A
)  <->  A. y  e.  A  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
4338, 42sylibr 203 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  A. v  e.  ( T " A
) ( ( T `
 x )  +h  v )  e.  ( T " A ) )
4427, 43mprgbir 2613 . . 3  |-  A. u  e.  ( T " A
) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )
452lnopmuli 22552 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  =  ( u  .h  ( T `  y ) ) )
4629, 45sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  =  ( u  .h  ( T `  y ) ) )
47 shmulcl 21797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  SH  /\  u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
u  .h  y )  e.  A )
488, 47mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( u  .h  y
)  e.  A )
49 funfvima2 5754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  T  /\  A  C_ 
dom  T )  -> 
( ( u  .h  y )  e.  A  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  e.  ( T
" A ) ) )
5012, 15, 49mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  .h  y )  e.  A  ->  ( T `  ( u  .h  y ) )  e.  ( T " A
) )
5148, 50syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  e.  ( T
" A ) )
5246, 51eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( u  .h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
5352ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( u  e.  CC  ->  A. y  e.  A  ( u  .h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) )
54 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
u  .h  v )  =  ( u  .h  ( T `  y
) ) )
5554eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
( u  .h  v
)  e.  ( T
" A )  <->  ( u  .h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) ) )
5655ralima 5758 . . . . . 6  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  -> 
( A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. y  e.  A  ( u  .h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) ) )
5722, 13, 56mp2an 653 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ( T " A ) ( u  .h  v )  e.  ( T " A
)  <->  A. y  e.  A  ( u  .h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
5853, 57sylibr 203 . . . 4  |-  ( u  e.  CC  ->  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A ) )
5958rgen 2608 . . 3  |-  A. u  e.  CC  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A )
6044, 59pm3.2i 441 . 2  |-  ( A. u  e.  ( T " A ) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  /\  A. u  e.  CC  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A ) )
61 issh2 21788 . 2  |-  ( ( T " A )  e.  SH  <->  ( (
( T " A
)  C_  ~H  /\  0h  e.  ( T " A
) )  /\  ( A. u  e.  ( T " A ) A. v  e.  ( T " A ) ( u  +h  v )  e.  ( T " A
)  /\  A. u  e.  CC  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A ) ) ) )
6220, 60, 61mpbir2an 886 1  |-  ( T
" A )  e.  SH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501   0hc0v 21504   SHcsh 21508   LinOpclo 21527
This theorem is referenced by:  rnelshi  22639
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-hvsub 21551  df-sh 21786  df-lnop 22421
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