MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imafi Structured version   Unicode version

Theorem imafi 7391
Description: Images of finite sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
imafi  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " X )  e. 
Fin )

Proof of Theorem imafi
StepHypRef Expression
1 imadmres 5354 . 2  |-  ( F
" dom  ( F  |`  X ) )  =  ( F " X
)
2 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
3 dmres 5159 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  X )  =  ( X  i^i  dom  F )
4 inss1 3553 . . . . 5  |-  ( X  i^i  dom  F )  C_  X
53, 4eqsstri 3370 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  X )  C_  X
6 ssfi 7321 . . . 4  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  X )  ->  dom  ( F  |`  X )  e.  Fin )
72, 5, 6sylancl 644 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  dom  ( F  |`  X )  e.  Fin )
8 resss 5162 . . . . 5  |-  ( F  |`  X )  C_  F
9 dmss 5061 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  X )  C_  F  ->  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F )
108, 9mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )
11 fores 5654 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )  ->  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )
1210, 11syldan 457 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )
13 fofi 7384 . . 3  |-  ( ( dom  ( F  |`  X )  e.  Fin  /\  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )  ->  ( F " dom  ( F  |`  X ) )  e.  Fin )
147, 12, 13syl2anc 643 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " dom  ( F  |`  X ) )  e. 
Fin )
151, 14syl5eqelr 2520 1  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " X )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   dom cdm 4870    |` cres 4872   "cima 4873   Fun wfun 5440   -onto->wfo 5444   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  suppfif1  7392  fissuni  7403  fipreima  7404  mapfien  7645  cmpfi  17463  mdegldg  19981  mdegcl  19984  sibfof  24646  ftc1anclem7  26276  ftc1anc  26278  elrfirn  26740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator