Theorem imaiun 3864

Description: The image of a union is the indexed union of the images. Theorem 3K(a) of [Enderton] p. 50.

Assertion

Ref	Expression
imaiun	|- (A"U.B) = U_x e. B (A"x)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem imaiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 2506	. . . . . 6 |- (z e. U.B <-> E.x(z e. x /\ x e. B))
2	1	anbi1i 481	. . . . 5 |- ((z e. U.B /\ <.z, y>. e. A) <-> (E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A))
3	2	exbii 1051	. . . 4 |- (E.z(z e. U.B /\ <.z, y>. e. A) <-> E.z(E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A))
4		19.41v 1305	. . . . . . 7 |- (E.x((z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> (E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A))
5		anass 439	. . . . . . . . 9 |- (((z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> (z e. x /\ (x e. B /\ <.z, y>. e. A)))
6		an12 484	. . . . . . . . 9 |- ((z e. x /\ (x e. B /\ <.z, y>. e. A)) <-> (x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
7	5, 6	bitr 173	. . . . . . . 8 |- (((z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> (x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
8	7	exbii 1051	. . . . . . 7 |- (E.x((z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
9	4, 8	bitr3 175	. . . . . 6 |- ((E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
10	9	exbii 1051	. . . . 5 |- (E.z(E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> E.zE.x(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
11		excom 1046	. . . . 5 |- (E.zE.x(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)) <-> E.xE.z(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
12		exdistr 1309	. . . . 5 |- (E.xE.z(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)) <-> E.x(x e. B /\ E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
13	10, 11, 12	3bitr 177	. . . 4 |- (E.z(E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x(x e. B /\ E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
14		visset 1813	. . . . . . 7 |- y e. V
15	14	elima3 3410	. . . . . 6 |- (y e. (A"x) <-> E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A))
16	15	rexbii 1668	. . . . 5 |- (E.x e. B y e. (A"x) <-> E.x e. B E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A))
17		df-rex 1650	. . . . 5 |- (E.x e. B E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x(x e. B /\ E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
18	16, 17	bitr2 174	. . . 4 |- (E.x(x e. B /\ E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A)) <-> E.x e. B y e. (A"x))
19	3, 13, 18	3bitr 177	. . 3 |- (E.z(z e. U.B /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x e. B y e. (A"x))
20	14	elima3 3410	. . 3 |- (y e. (A"U.B) <-> E.z(z e. U.B /\ <.z, y>. e. A))
21		eliun 2570	. . 3 |- (y e. U_x e. B (A"x) <-> E.x e. B y e. (A"x))
22	19, 20, 21	3bitr4 183	. 2 |- (y e. (A"U.B) <-> y e. U_x e. B (A"x))
23	22	eqriv 1474	1 |- (A"U.B) = U_x e. B (A"x)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  E.wrex 1646  <.cop 2411  U.cuni 2503  U_ciun 2566  "cima 3173

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191

Copyright terms: Public domain