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Theorem imambfm 24604
Description: If the sigma-algebra in the range of a given function is generated by a collection of basic sets  K, then to check the measurability of that function, we need only consider inverse images of basic sets  a. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
imambfm.1  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
imambfm.2  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
imambfm.3  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
Assertion
Ref Expression
imambfm  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    F, a    K, a    S, a    T, a    ph, a

Proof of Theorem imambfm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imambfm.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 imambfm.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
4 imambfm.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
54sgsiga 24517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (sigaGen `  K )  e.  U. ran sigAlgebra )
63, 5eqeltrd 2509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
8 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  F  e.  ( SMblFnM T ) )
92, 7, 8mbfmf 24597 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  F : U. S
--> U. T )
101ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
116ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
12 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  F  e.  ( SMblFnM T ) )
13 sssigagen 24520 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  _V  ->  K  C_  (sigaGen `  K )
)
144, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  C_  (sigaGen `  K
) )
1514, 3sseqtr4d 3377 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  C_  T )
1615ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  K  C_  T )
17 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  a  e.  K )
1816, 17sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  a  e.  T )
1910, 11, 12, 18mbfmcnvima 24599 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F " a )  e.  S )
2019ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S )
219, 20jca 519 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )
22 unielsiga 24503 . . . . . 6  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
236, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
2423adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  U. T  e.  T
)
25 unielsiga 24503 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
261, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
2726adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  U. S  e.  S
)
28 simprl 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  F : U. S
--> U. T )
29 elmapg 7023 . . . . 5  |-  ( ( U. T  e.  T  /\  U. S  e.  S
)  ->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  <->  F : U. S --> U. T ) )
3029biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( ( U. T  e.  T  /\  U. S  e.  S )  /\  F : U. S --> U. T
)  ->  F  e.  ( U. T  ^m  U. S ) )
3124, 27, 28, 30syl21anc 1183 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  F  e.  ( U. T  ^m  U. S ) )
323adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  =  (sigaGen `  K ) )
33 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ph )
34 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  T
35 pwuni 4387 . . . . . . . . . . 11  |-  T  C_  ~P U. T
3634, 35sstri 3349 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T )
38 fimacnv 5854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  ( `' F " U. T )  =  U. S )
3938ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( `' F " U. T )  = 
U. S )
4039, 27eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( `' F " U. T )  e.  S )
41 imaeq2 5191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  U. T  -> 
( `' F "
a )  =  ( `' F " U. T
) )
4241eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  U. T  -> 
( ( `' F " a )  e.  S  <->  ( `' F " U. T
)  e.  S ) )
4342elrab 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( U. T  e.  T  /\  ( `' F " U. T
)  e.  S ) )
4424, 40, 43sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  U. T  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
456ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4645, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  U. T  e.  T )
47 elrabi 3082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  x  e.  T )
4847adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  x  e.  T )
49 difelsiga 24508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  e.  T  /\  x  e.  T )  ->  ( U. T  \  x )  e.  T
)
5045, 46, 48, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( U. T  \  x
)  e.  T )
51 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  F : U. S --> U. T
)
52 ffun 5585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  Fun  F )
53 difpreima 5850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  =  ( ( `' F " U. T )  \ 
( `' F "
x ) ) )
5451, 52, 533syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  =  ( ( `' F " U. T
)  \  ( `' F " x ) ) )
5539difeq1d 3456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( ( `' F " U. T
)  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. S  \  ( `' F "
x ) ) )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  (
( `' F " U. T )  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. S  \  ( `' F " x ) ) )
571ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
5857, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  U. S  e.  S )
59 imaeq2 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  x  ->  ( `' F " a )  =  ( `' F " x ) )
6059eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  x  ->  (
( `' F "
a )  e.  S  <->  ( `' F " x )  e.  S ) )
6160elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( x  e.  T  /\  ( `' F " x )  e.  S ) )
6261simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  ( `' F " x )  e.  S )
6362adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( `' F " x )  e.  S )
64 difelsiga 24508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. S  e.  S  /\  ( `' F " x )  e.  S )  -> 
( U. S  \ 
( `' F "
x ) )  e.  S )
6557, 58, 63, 64syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( U. S  \  ( `' F " x ) )  e.  S )
6656, 65eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  (
( `' F " U. T )  \  ( `' F " x ) )  e.  S )
6754, 66eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  e.  S )
68 imaeq2 5191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( U. T  \  x )  ->  ( `' F " a )  =  ( `' F " ( U. T  \  x ) ) )
6968eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( U. T  \  x )  ->  (
( `' F "
a )  e.  S  <->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  e.  S ) )
7069elrab 3084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( ( U. T  \  x
)  e.  T  /\  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  e.  S ) )
7150, 67, 70sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
7271ralrimiva 2781 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
736ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
74 sspwb 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  T  <->  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P T )
7534, 74mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ~P {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  ~P T
7675sseli 3336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  x  e.  ~P T )
7776ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  x  e.  ~P T
)
78 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  om )
79 sigaclcu 24492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P T  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  T
)
8073, 77, 78, 79syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  T
)
81 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )
8281simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  F : U. S --> U. T )
83 unipreima 24048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " U. x )  =  U_ y  e.  x  ( `' F " y ) )
8482, 52, 833syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( `' F " U. x )  =  U_ y  e.  x  ( `' F " y ) )
851ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
86 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
87 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
88 elelpwi 3801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  ->  y  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
8986, 87, 88syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
90 imaeq2 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  y  ->  ( `' F " a )  =  ( `' F " y ) )
9190eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  y  ->  (
( `' F "
a )  e.  S  <->  ( `' F " y )  e.  S ) )
9291elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( y  e.  T  /\  ( `' F " y )  e.  S ) )
9392simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  ( `' F " y )  e.  S )
9489, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  ( `' F " y )  e.  S )
9594ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  A. y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S )
96 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y
x
9796sigaclcuni 24493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S  /\  x  ~<_  om )  ->  U_ y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S )
9885, 95, 78, 97syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  U_ y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S )
9984, 98eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( `' F " U. x )  e.  S
)
100 imaeq2 5191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  U. x  -> 
( `' F "
a )  =  ( `' F " U. x
) )
101100eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  U. x  -> 
( ( `' F " a )  e.  S  <->  ( `' F " U. x
)  e.  S ) )
102101elrab 3084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( U. x  e.  T  /\  ( `' F " U. x
)  e.  S ) )
10380, 99, 102sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
104103ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  ->  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) )
105104ralrimiva 2781 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. x  e.  ~P  { a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } ) )
10644, 72, 1053jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
~P  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) ) )
107 rabexg 4345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  _V )
108 issiga 24486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  e.  _V  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. T )  <->  ( {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
~P  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) ) ) ) )
1096, 107, 1083syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T )  <-> 
( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e.  ~P  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } ) ) ) ) )
110109biimpar 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
~P  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) ) ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
11133, 37, 106, 110syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
1123unieqd 4018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. (sigaGen `  K ) )
113 unisg 24518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  _V  ->  U. (sigaGen `  K )  =  U. K )
1144, 113syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. (sigaGen `  K
)  =  U. K
)
115112, 114eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. K )
116115fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (sigAlgebra `  U. T )  =  (sigAlgebra `  U. K ) )
117116eleq2d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T )  <->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. K ) ) )
118117adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T )  <->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. K ) ) )
119111, 118mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. K ) )
12015adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  K  C_  T
)
121 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S )
122 ssrab 3413 . . . . . . . 8  |-  ( K 
C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( K  C_  T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )
123120, 121, 122sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  K  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
124 sigagenss 24524 . . . . . . 7  |-  ( ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. K )  /\  K  C_ 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  ->  (sigaGen `  K )  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
125119, 123, 124syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  (sigaGen `  K )  C_ 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
12632, 125eqsstrd 3374 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
12734a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  T )
128126, 127eqssd 3357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  =  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
129 rabid2 2877 . . . 4  |-  ( T  =  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  A. a  e.  T  ( `' F " a )  e.  S )
130128, 129sylib 189 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. a  e.  T  ( `' F " a )  e.  S )
1311adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
1326adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
133131, 132ismbfm 24594 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <-> 
( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. a  e.  T  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
13431, 130, 133mpbir2and 889 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  F  e.  ( SMblFnM T ) )
13521, 134impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   U_ciun 4085   class class class wbr 4204   omcom 4837   `'ccnv 4869   ran crn 4871   "cima 4873   Fun wfun 5440   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010    ~<_ cdom 7099  sigAlgebracsiga 24482  sigaGencsigagen 24513  MblFnMcmbfm 24592
This theorem is referenced by:  cnmbfm  24605  mbfmco2  24607
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-ac2 8335
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-ac 7989  df-cda 8040  df-siga 24483  df-sigagen 24514  df-mbfm 24593
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