Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasaddvallem Structured version   Unicode version

Theorem imasaddvallem 13754
 Description: The operation of an image structure is defined to distribute over the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasaddf.f
imasaddf.e
imasaddflem.a
Assertion
Ref Expression
imasaddvallem
Distinct variable groups:   ,,   ,,,,   ,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,)

Proof of Theorem imasaddvallem
StepHypRef Expression
1 df-ov 6084 . 2
2 imasaddf.f . . . . . 6
3 imasaddf.e . . . . . 6
4 imasaddflem.a . . . . . 6
52, 3, 4imasaddfnlem 13753 . . . . 5
6 fnfun 5542 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
873ad2ant1 978 . . 3
9 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11
109opeq1d 3990 . . . . . . . . . 10
11 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11
1211fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
1310, 12opeq12d 3992 . . . . . . . . 9
1413sneqd 3827 . . . . . . . 8
1514ssiun2s 4135 . . . . . . 7
16153ad2ant2 979 . . . . . 6
17 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13
1817opeq2d 3991 . . . . . . . . . . . 12
19 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . 13
2019fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20opeq12d 3992 . . . . . . . . . . 11
2221sneqd 3827 . . . . . . . . . 10
2322ssiun2s 4135 . . . . . . . . 9
2423ralrimivw 2790 . . . . . . . 8
25 ss2iun 4108 . . . . . . . 8
2624, 25syl 16 . . . . . . 7
27263ad2ant3 980 . . . . . 6
2816, 27sstrd 3358 . . . . 5
2943ad2ant1 978 . . . . 5
3028, 29sseqtr4d 3385 . . . 4
31 opex 4427 . . . . 5
3231snss 3926 . . . 4
3330, 32sylibr 204 . . 3
34 funopfv 5766 . . 3
358, 33, 34sylc 58 . 2
361, 35syl5eq 2480 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   wss 3320  csn 3814  cop 3817  ciun 4093   cxp 4876   wfun 5448   wfn 5449  wfo 5452  cfv 5454  (class class class)co 6081 This theorem is referenced by:  imasaddval  13757  imasmulval  13760  divsaddvallem  13776 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fo 5460  df-fv 5462  df-ov 6084
 Copyright terms: Public domain W3C validator