MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1obl Structured version   Unicode version

Theorem imasf1obl 18510
Description: The image of a metric space ball. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasf1obl.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasf1obl.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasf1obl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasf1obl.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
imasf1obl.d  |-  D  =  ( dist `  U
)
imasf1obl.m  |-  ( ph  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
imasf1obl.x  |-  ( ph  ->  P  e.  V )
imasf1obl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
Assertion
Ref Expression
imasf1obl  |-  ( ph  ->  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) S )  =  ( F "
( P ( ball `  E ) S ) ) )

Proof of Theorem imasf1obl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
2 f1ocnvfv2 6007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : V -1-1-onto-> B  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
31, 2sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  x )
)  =  x )
43oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( F `  P
) D ( F `
 ( `' F `  x ) ) )  =  ( ( F `
 P ) D x ) )
5 imasf1obl.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
65adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  U  =  ( F  "s  R
) )
7 imasf1obl.v . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
87adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  V  =  ( Base `  R
) )
91adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  F : V -1-1-onto-> B )
10 imasf1obl.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
1110adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R  e.  Z )
12 imasf1obl.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
13 imasf1obl.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( dist `  U
)
14 imasf1obl.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
1514adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
16 imasf1obl.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  V )
1716adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  P  e.  V )
18 f1ocnv 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> V )
191, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' F : B -1-1-onto-> V )
20 f1of 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> V  ->  `' F : B --> V )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  `' F : B --> V )
2221ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( `' F `  x )  e.  V )
236, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 22imasdsf1o 18396 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( F `  P
) D ( F `
 ( `' F `  x ) ) )  =  ( P E ( `' F `  x ) ) )
244, 23eqtr3d 2469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( F `  P
) D x )  =  ( P E ( `' F `  x ) ) )
2524breq1d 4214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( F `  P ) D x )  <  S  <->  ( P E ( `' F `  x ) )  < 
S ) )
26 imasf1obl.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
2726adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  RR* )
28 elbl2 18412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  ( * Met `  V
)  /\  S  e.  RR* )  /\  ( P  e.  V  /\  ( `' F `  x )  e.  V ) )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P (
ball `  E ) S )  <->  ( P E ( `' F `  x ) )  < 
S ) )
2915, 27, 17, 22, 28syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  E
) S )  <->  ( P E ( `' F `  x ) )  < 
S ) )
3025, 29bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( F `  P ) D x )  <  S  <->  ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  E ) S ) ) )
3130pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  ( ( F `  P ) D x )  < 
S )  <->  ( x  e.  B  /\  ( `' F `  x )  e.  ( P (
ball `  E ) S ) ) ) )
325, 7, 1, 10, 12, 13, 14imasf1oxmet 18397 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
33 f1of 5666 . . . . . . 7  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V
--> B )
341, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
3534, 16ffvelrnd 5863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  e.  B )
36 elbl 18410 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  ( F `  P )  e.  B  /\  S  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  B  /\  (
( F `  P
) D x )  <  S ) ) )
3732, 35, 26, 36syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  B  /\  (
( F `  P
) D x )  <  S ) ) )
38 f1ofn 5667 . . . . 5  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> V  ->  `' F  Fn  B
)
39 elpreima 5842 . . . . 5  |-  ( `' F  Fn  B  -> 
( x  e.  ( `' `' F " ( P ( ball `  E
) S ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  E
) S ) ) ) )
4019, 38, 393syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' `' F " ( P ( ball `  E
) S ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  E
) S ) ) ) )
4131, 37, 403bitr4d 277 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) S )  <->  x  e.  ( `' `' F " ( P ( ball `  E
) S ) ) ) )
4241eqrdv 2433 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) S )  =  ( `' `' F " ( P (
ball `  E ) S ) ) )
43 imacnvcnv 5326 . 2  |-  ( `' `' F " ( P ( ball `  E
) S ) )  =  ( F "
( P ( ball `  E ) S ) )
4442, 43syl6eq 2483 1  |-  ( ph  ->  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) S )  =  ( F "
( P ( ball `  E ) S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   `'ccnv 4869    |` cres 4872   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111    < clt 9112   Basecbs 13461   distcds 13530    "s cimas 13722   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  18511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-imas 13726  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689
  Copyright terms: Public domain W3C validator