MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1oms Unicode version

Theorem imasf1oms 18036
Description: The image of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasf1obl.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasf1obl.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasf1oms.r  |-  ( ph  ->  R  e.  MetSp )
Assertion
Ref Expression
imasf1oms  |-  ( ph  ->  U  e.  MetSp )

Proof of Theorem imasf1oms
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasf1obl.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasf1obl.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
4 imasf1oms.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  MetSp )
5 msxms 18000 . . . 4  |-  ( R  e.  MetSp  ->  R  e.  *
MetSp )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  * MetSp )
71, 2, 3, 6imasf1oxms 18035 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  * MetSp )
8 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( (
dist `  R )  |`  ( V  X.  V
) )  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
9 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
10 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
11 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( (
dist `  R )  |`  ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  R ) ) )  =  ( ( dist `  R )  |`  (
( Base `  R )  X.  ( Base `  R
) ) )
1210, 11msmet 18003 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  MetSp  ->  ( ( dist `  R )  |`  ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  R ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) )
134, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  R
)  |`  ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  R ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  R
) ) )
142, 2xpeq12d 4714 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( V  X.  V
)  =  ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  R
) ) )
1514reseq2d 4955 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  R ) ) ) )
162fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Met `  V
)  =  ( Met `  ( Base `  R
) ) )
1715, 16eleq12d 2351 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( dist `  R )  |`  ( V  X.  V ) )  e.  ( Met `  V
)  <->  ( ( dist `  R )  |`  (
( Base `  R )  X.  ( Base `  R
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) ) )
1813, 17mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )  e.  ( Met `  V
) )
191, 2, 3, 4, 8, 9, 18imasf1omet 17940 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dist `  U
)  e.  ( Met `  B ) )
20 f1ofo 5479 . . . . . . 7  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -onto-> B )
213, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
221, 2, 21, 4imasbas 13415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
2322fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  U
) ) )
2419, 23eleqtrd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  U
)  e.  ( Met `  ( Base `  U
) ) )
25 ssid 3197 . . 3  |-  ( Base `  U )  C_  ( Base `  U )
26 metres2 17927 . . 3  |-  ( ( ( dist `  U
)  e.  ( Met `  ( Base `  U
) )  /\  ( Base `  U )  C_  ( Base `  U )
)  ->  ( ( dist `  U )  |`  ( ( Base `  U
)  X.  ( Base `  U ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  U ) ) )
2724, 25, 26sylancl 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  U
)  |`  ( ( Base `  U )  X.  ( Base `  U ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  U
) ) )
28 eqid 2283 . . 3  |-  ( TopOpen `  U )  =  (
TopOpen `  U )
29 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
30 eqid 2283 . . 3  |-  ( (
dist `  U )  |`  ( ( Base `  U
)  X.  ( Base `  U ) ) )  =  ( ( dist `  U )  |`  (
( Base `  U )  X.  ( Base `  U
) ) )
3128, 29, 30isms 17995 . 2  |-  ( U  e.  MetSp 
<->  ( U  e.  * MetSp  /\  ( ( dist `  U )  |`  (
( Base `  U )  X.  ( Base `  U
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  U ) ) ) )
327, 27, 31sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  U  e.  MetSp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152    X. cxp 4687    |` cres 4691   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   distcds 13217   TopOpenctopn 13326    "s cimas 13407   Metcme 16370   *
MetSpcxme 17882   MetSpcmt 17883
This theorem is referenced by:  xpsms  18081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886
  Copyright terms: Public domain W3C validator