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Theorem imasf1oxmet 18313
Description: The image of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasf1oxmet.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasf1oxmet.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasf1oxmet.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasf1oxmet.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
imasf1oxmet.d  |-  D  =  ( dist `  U
)
imasf1oxmet.m  |-  ( ph  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
imasf1oxmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )

Proof of Theorem imasf1oxmet
Dummy variables  a 
b  x  y  z  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasf1oxmet.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasf1oxmet.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
4 f1ofo 5621 . . . . 5  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -onto-> B )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
6 imasf1oxmet.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
7 eqid 2387 . . . 4  |-  ( dist `  R )  =  (
dist `  R )
8 imasf1oxmet.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  U
)
91, 2, 5, 6, 7, 8imasdsfn 13667 . . 3  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
101adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  U  =  ( F  "s  R ) )
112adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  V  =  ( Base `  R ) )
123adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  F : V -1-1-onto-> B )
136adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  R  e.  Z )
14 imasf1oxmet.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
15 imasf1oxmet.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
1615adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
17 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
a  e.  V )
18 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
b  e.  V )
1910, 11, 12, 13, 14, 8, 16, 17, 18imasdsf1o 18312 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  ( a E b ) )
20 xmetcl 18270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( a E b )  e. 
RR* )
21203expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  e.  RR* )
2215, 21sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  e.  RR* )
2319, 22eqeltrd 2461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR* )
2423ralrimivva 2741 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR* )
25 f1ofn 5615 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  V )
263, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
27 oveq2 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
) D y )  =  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) ) )
2827eleq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  e.  RR*  <->  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e. 
RR* ) )
2928ralrn 5812 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ( ( F `  a ) D y )  e.  RR*  <->  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e. 
RR* ) )
3026, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR* )
)
31 forn 5596 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
325, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
3332raleqdv 2853 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR* )
)
3430, 33bitr3d 247 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  e.  RR*  <->  A. y  e.  B  (
( F `  a
) D y )  e.  RR* ) )
3534ralbidv 2669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  e.  RR*  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  (
( F `  a
) D y )  e.  RR* ) )
3624, 35mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR* )
37 oveq1 6027 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x D y )  =  ( ( F `
 a ) D y ) )
3837eleq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  e.  RR*  <->  ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* ) )
3938ralbidv 2669 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR*  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* ) )
4039ralrn 5812 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR*  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* ) )
4126, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR* )
)
4232raleqdv 2853 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR* )
)
4341, 42bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `
 a ) D y )  e.  RR*  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x D y )  e.  RR* ) )
4436, 43mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR* )
45 ffnov 6113 . . 3  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR*  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e. 
RR* ) )
469, 44, 45sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR* )
47 xmeteq0 18277 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( (
a E b )  =  0  <->  a  =  b ) )
4816, 17, 18, 47syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( a E b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
4919eqeq1d 2395 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  =  0  <-> 
( a E b )  =  0 ) )
50 f1of1 5613 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -1-1-> B )
513, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-> B
)
52 f1fveq 5947 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : V -1-1-> B  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  <->  a  =  b ) )
5351, 52sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  <-> 
a  =  b ) )
5448, 49, 533bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) )
5516adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
56 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  c  e.  V )
5717adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  a  e.  V )
5818adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  b  e.  V )
59 xmettri2 18279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( c  e.  V  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  <_  ( (
c E a ) + e ( c E b ) ) )
6055, 56, 57, 58, 59syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
a E b )  <_  ( ( c E a ) + e ( c E b ) ) )
6119adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  ( a E b ) )
6210adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  U  =  ( F  "s  R
) )
6311adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  V  =  ( Base `  R
) )
6412adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  F : V -1-1-onto-> B )
6513adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  R  e.  Z )
6662, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 57imasdsf1o 18312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  c
) D ( F `
 a ) )  =  ( c E a ) )
6762, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 58imasdsf1o 18312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  c
) D ( F `
 b ) )  =  ( c E b ) )
6866, 67oveq12d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) + e ( ( F `  c
) D ( F `
 b ) ) )  =  ( ( c E a ) + e ( c E b ) ) )
6960, 61, 683brtr4d 4183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  a
) D ( F `
 b ) )  <_  ( ( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) + e ( ( F `
 c ) D ( F `  b
) ) ) )
7069ralrimiva 2732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  A. c  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
( F `  c
) D ( F `
 a ) ) + e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) )
71 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
z D ( F `
 a ) )  =  ( ( F `
 c ) D ( F `  a
) ) )
72 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
z D ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 c ) D ( F `  b
) ) )
7371, 72oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( z D ( F `  a ) ) + e ( z D ( F `
 b ) ) )  =  ( ( ( F `  c
) D ( F `
 a ) ) + e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) )
7473breq2d 4165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) )  <-> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
( F `  c
) D ( F `
 a ) ) + e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) ) )
7574ralrn 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. z  e.  ran  F ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) )  <->  A. c  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
( F `  c
) D ( F `
 a ) ) + e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) ) )
7626, 75syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) )  <->  A. c  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( ( F `
 c ) D ( F `  a
) ) + e
( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) ) )
7732raleqdv 2853 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) ) )
7876, 77bitr3d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  <_  (
( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) + e ( ( F `  c
) D ( F `
 b ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
7978adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( A. c  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  <_  (
( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) + e ( ( F `  c
) D ( F `
 b ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8070, 79mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) )
8154, 80jca 519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8281ralrimivva 2741 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8327eqeq1d 2395 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  (
( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  0 ) )
84 eqeq2 2396 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  =  y  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
8583, 84bibi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( ( F `
 a ) D y )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  y )  <-> 
( ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) ) )
86 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
z D y )  =  ( z D ( F `  b
) ) )
8786oveq2d 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) )  =  ( ( z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) )
8827, 87breq12d 4166 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) )  <-> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8988ralbidv 2669 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  ( A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
9085, 89anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) )  <->  ( (
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D ( F `  b
) ) ) ) ) )
9190ralrn 5812 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) )  <->  A. b  e.  V  ( (
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D ( F `  b
) ) ) ) ) )
9226, 91syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) ) ) )
9332raleqdv 2853 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) ) ) )
9492, 93bitr3d 247 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
9594ralbidv 2669 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) )  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
9682, 95mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) ) )
9737eqeq1d 2395 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( F `  a
) D y )  =  0 ) )
98 eqeq1 2393 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x  =  y  <->  ( F `  a )  =  y ) )
9997, 98bibi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  <-> 
( ( ( F `
 a ) D y )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  y ) ) )
100 oveq2 6028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
z D x )  =  ( z D ( F `  a
) ) )
101100oveq1d 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( z D x ) + e ( z D y ) )  =  ( ( z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) ) )
10237, 101breq12d 4166 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) )  <-> 
( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) ) ) )
103102ralbidv 2669 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) ) ) )
10499, 103anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) )  <->  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
105104ralbidv 2669 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
106105ralrn 5812 . . . . 5  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) )  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
10726, 106syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) ) ) )
10832raleqdv 2853 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) ) ) )
109107, 108bitr3d 247 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a
) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) )
11096, 109mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) ) )
11115elfvexd 5699 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
112 fornex 5909 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  ( F : V -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
113111, 5, 112sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
114 isxmet 18263 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( D  e.  ( * Met `  B )  <->  ( D : ( B  X.  B ) --> RR*  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
115113, 114syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( * Met `  B
)  <->  ( D :
( B  X.  B
) --> RR*  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
11646, 110, 115mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   _Vcvv 2899   class class class wbr 4153    X. cxp 4816   ran crn 4819    |` cres 4820    Fn wfn 5389   -->wf 5390   -1-1->wf1 5391   -onto->wfo 5392   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   0cc0 8923   RR*cxr 9052    <_ cle 9054   + ecxad 10640   Basecbs 13396   distcds 13465    "s cimas 13657   * Metcxmt 16612
This theorem is referenced by:  imasf1omet  18314  xpsxmet  18318  imasf1obl  18408  imasf1oxms  18409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-imas 13661  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619
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