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Theorem imasf1oxmet 17939
Description: The image of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasf1oxmet.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasf1oxmet.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasf1oxmet.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasf1oxmet.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
imasf1oxmet.d  |-  D  =  ( dist `  U
)
imasf1oxmet.m  |-  ( ph  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
imasf1oxmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )

Proof of Theorem imasf1oxmet
Dummy variables  a 
b  x  y  z  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasf1oxmet.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasf1oxmet.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
4 f1ofo 5479 . . . . 5  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -onto-> B )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
6 imasf1oxmet.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  ( dist `  R )  =  (
dist `  R )
8 imasf1oxmet.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  U
)
91, 2, 5, 6, 7, 8imasdsfn 13417 . . 3  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
101adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  U  =  ( F  "s  R ) )
112adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  V  =  ( Base `  R ) )
123adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  F : V -1-1-onto-> B )
136adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  R  e.  Z )
14 imasf1oxmet.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
15 imasf1oxmet.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
1615adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
17 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
a  e.  V )
18 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
b  e.  V )
1910, 11, 12, 13, 14, 8, 16, 17, 18imasdsf1o 17938 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  ( a E b ) )
20 xmetcl 17896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( a E b )  e. 
RR* )
21203expb 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  e.  RR* )
2215, 21sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  e.  RR* )
2319, 22eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR* )
2423ralrimivva 2635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR* )
25 f1ofn 5473 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  V )
263, 25syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
27 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
) D y )  =  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) ) )
2827eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  e.  RR*  <->  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e. 
RR* ) )
2928ralrn 5668 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ( ( F `  a ) D y )  e.  RR*  <->  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e. 
RR* ) )
3026, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR* )
)
31 forn 5454 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
325, 31syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
3332raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR* )
)
3430, 33bitr3d 246 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  e.  RR*  <->  A. y  e.  B  (
( F `  a
) D y )  e.  RR* ) )
3534ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  e.  RR*  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  (
( F `  a
) D y )  e.  RR* ) )
3624, 35mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR* )
37 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x D y )  =  ( ( F `
 a ) D y ) )
3837eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  e.  RR*  <->  ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* ) )
3938ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR*  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* ) )
4039ralrn 5668 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR*  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* ) )
4126, 40syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR* )
)
4232raleqdv 2742 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR* )
)
4341, 42bitr3d 246 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `
 a ) D y )  e.  RR*  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x D y )  e.  RR* ) )
4436, 43mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR* )
45 ffnov 5948 . . 3  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR*  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e. 
RR* ) )
469, 44, 45sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR* )
47 xmeteq0 17903 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( (
a E b )  =  0  <->  a  =  b ) )
4816, 17, 18, 47syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( a E b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
4919eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  =  0  <-> 
( a E b )  =  0 ) )
50 f1of1 5471 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -1-1-> B )
513, 50syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-> B
)
52 f1fveq 5786 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : V -1-1-> B  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  <->  a  =  b ) )
5351, 52sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  <-> 
a  =  b ) )
5448, 49, 533bitr4d 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) )
5516adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
56 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  c  e.  V )
5717adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  a  e.  V )
5818adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  b  e.  V )
59 xmettri2 17905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( c  e.  V  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  <_  ( (
c E a ) + e ( c E b ) ) )
6055, 56, 57, 58, 59syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
a E b )  <_  ( ( c E a ) + e ( c E b ) ) )
6119adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  ( a E b ) )
6210adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  U  =  ( F  "s  R
) )
6311adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  V  =  ( Base `  R
) )
6412adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  F : V -1-1-onto-> B )
6513adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  R  e.  Z )
6662, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 57imasdsf1o 17938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  c
) D ( F `
 a ) )  =  ( c E a ) )
6762, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 58imasdsf1o 17938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  c
) D ( F `
 b ) )  =  ( c E b ) )
6866, 67oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) + e ( ( F `  c
) D ( F `
 b ) ) )  =  ( ( c E a ) + e ( c E b ) ) )
6960, 61, 683brtr4d 4053 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  a
) D ( F `
 b ) )  <_  ( ( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) + e ( ( F `
 c ) D ( F `  b
) ) ) )
7069ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  A. c  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
( F `  c
) D ( F `
 a ) ) + e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) )
71 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
z D ( F `
 a ) )  =  ( ( F `
 c ) D ( F `  a
) ) )
72 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
z D ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 c ) D ( F `  b
) ) )
7371, 72oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( z D ( F `  a ) ) + e ( z D ( F `
 b ) ) )  =  ( ( ( F `  c
) D ( F `
 a ) ) + e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) )
7473breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) )  <-> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
( F `  c
) D ( F `
 a ) ) + e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) ) )
7574ralrn 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. z  e.  ran  F ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) )  <->  A. c  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
( F `  c
) D ( F `
 a ) ) + e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) ) )
7626, 75syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) )  <->  A. c  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( ( F `
 c ) D ( F `  a
) ) + e
( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) ) )
7732raleqdv 2742 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) ) )
7876, 77bitr3d 246 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  <_  (
( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) + e ( ( F `  c
) D ( F `
 b ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
7978adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( A. c  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  <_  (
( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) + e ( ( F `  c
) D ( F `
 b ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8070, 79mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) )
8154, 80jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8281ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8327eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  (
( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  0 ) )
84 eqeq2 2292 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  =  y  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
8583, 84bibi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( ( F `
 a ) D y )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  y )  <-> 
( ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) ) )
86 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
z D y )  =  ( z D ( F `  b
) ) )
8786oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) )  =  ( ( z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) )
8827, 87breq12d 4036 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) )  <-> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8988ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  ( A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
9085, 89anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) )  <->  ( (
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D ( F `  b
) ) ) ) ) )
9190ralrn 5668 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) )  <->  A. b  e.  V  ( (
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D ( F `  b
) ) ) ) ) )
9226, 91syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) ) ) )
9332raleqdv 2742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) ) ) )
9492, 93bitr3d 246 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
9594ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) )  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
9682, 95mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) ) )
9737eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( F `  a
) D y )  =  0 ) )
98 eqeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x  =  y  <->  ( F `  a )  =  y ) )
9997, 98bibi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  <-> 
( ( ( F `
 a ) D y )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  y ) ) )
100 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
z D x )  =  ( z D ( F `  a
) ) )
101100oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( z D x ) + e ( z D y ) )  =  ( ( z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) ) )
10237, 101breq12d 4036 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) )  <-> 
( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) ) ) )
103102ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) ) ) )
10499, 103anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) )  <->  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
105104ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
106105ralrn 5668 . . . . 5  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) )  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
10726, 106syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) ) ) )
10832raleqdv 2742 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) ) ) )
109107, 108bitr3d 246 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a
) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) )
11096, 109mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) ) )
111 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
1122, 111syl6eqel 2371 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
113 fornex 5750 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  ( F : V -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
114112, 5, 113sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
115 isxmet 17889 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( D  e.  ( * Met `  B )  <->  ( D : ( B  X.  B ) --> RR*  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
116114, 115syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( * Met `  B
)  <->  ( D :
( B  X.  B
) --> RR*  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
11746, 110, 116mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   + ecxad 10450   Basecbs 13148   distcds 13217    "s cimas 13407   * Metcxmt 16369
This theorem is referenced by:  imasf1omet  17940  xpsxmet  17944  imasf1obl  18034  imasf1oxms  18035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-imas 13411  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373
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