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Theorem imasf1oxmet 17955
Description: The image of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasf1oxmet.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasf1oxmet.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasf1oxmet.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasf1oxmet.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
imasf1oxmet.d  |-  D  =  ( dist `  U
)
imasf1oxmet.m  |-  ( ph  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
imasf1oxmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )

Proof of Theorem imasf1oxmet
Dummy variables  a 
b  x  y  z  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasf1oxmet.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasf1oxmet.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
4 f1ofo 5495 . . . . 5  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -onto-> B )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
6 imasf1oxmet.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
7 eqid 2296 . . . 4  |-  ( dist `  R )  =  (
dist `  R )
8 imasf1oxmet.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  U
)
91, 2, 5, 6, 7, 8imasdsfn 13433 . . 3  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
101adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  U  =  ( F  "s  R ) )
112adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  V  =  ( Base `  R ) )
123adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  F : V -1-1-onto-> B )
136adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  R  e.  Z )
14 imasf1oxmet.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
15 imasf1oxmet.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
1615adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
17 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
a  e.  V )
18 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
b  e.  V )
1910, 11, 12, 13, 14, 8, 16, 17, 18imasdsf1o 17954 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  ( a E b ) )
20 xmetcl 17912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( a E b )  e. 
RR* )
21203expb 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  e.  RR* )
2215, 21sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  e.  RR* )
2319, 22eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR* )
2423ralrimivva 2648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR* )
25 f1ofn 5489 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  V )
263, 25syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
27 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
) D y )  =  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) ) )
2827eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  e.  RR*  <->  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e. 
RR* ) )
2928ralrn 5684 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ( ( F `  a ) D y )  e.  RR*  <->  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e. 
RR* ) )
3026, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR* )
)
31 forn 5470 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
325, 31syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
3332raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR* )
)
3430, 33bitr3d 246 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  e.  RR*  <->  A. y  e.  B  (
( F `  a
) D y )  e.  RR* ) )
3534ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  e.  RR*  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  (
( F `  a
) D y )  e.  RR* ) )
3624, 35mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR* )
37 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x D y )  =  ( ( F `
 a ) D y ) )
3837eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  e.  RR*  <->  ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* ) )
3938ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR*  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* ) )
4039ralrn 5684 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR*  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* ) )
4126, 40syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR* )
)
4232raleqdv 2755 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR* )
)
4341, 42bitr3d 246 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `
 a ) D y )  e.  RR*  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x D y )  e.  RR* ) )
4436, 43mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR* )
45 ffnov 5964 . . 3  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR*  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e. 
RR* ) )
469, 44, 45sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR* )
47 xmeteq0 17919 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( (
a E b )  =  0  <->  a  =  b ) )
4816, 17, 18, 47syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( a E b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
4919eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  =  0  <-> 
( a E b )  =  0 ) )
50 f1of1 5487 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -1-1-> B )
513, 50syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-> B
)
52 f1fveq 5802 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : V -1-1-> B  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  <->  a  =  b ) )
5351, 52sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  <-> 
a  =  b ) )
5448, 49, 533bitr4d 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) )
5516adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
56 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  c  e.  V )
5717adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  a  e.  V )
5818adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  b  e.  V )
59 xmettri2 17921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( c  e.  V  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  <_  ( (
c E a ) + e ( c E b ) ) )
6055, 56, 57, 58, 59syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
a E b )  <_  ( ( c E a ) + e ( c E b ) ) )
6119adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  ( a E b ) )
6210adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  U  =  ( F  "s  R
) )
6311adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  V  =  ( Base `  R
) )
6412adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  F : V -1-1-onto-> B )
6513adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  R  e.  Z )
6662, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 57imasdsf1o 17954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  c
) D ( F `
 a ) )  =  ( c E a ) )
6762, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 58imasdsf1o 17954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  c
) D ( F `
 b ) )  =  ( c E b ) )
6866, 67oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) + e ( ( F `  c
) D ( F `
 b ) ) )  =  ( ( c E a ) + e ( c E b ) ) )
6960, 61, 683brtr4d 4069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  a
) D ( F `
 b ) )  <_  ( ( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) + e ( ( F `
 c ) D ( F `  b
) ) ) )
7069ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  A. c  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
( F `  c
) D ( F `
 a ) ) + e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) )
71 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
z D ( F `
 a ) )  =  ( ( F `
 c ) D ( F `  a
) ) )
72 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
z D ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 c ) D ( F `  b
) ) )
7371, 72oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( z D ( F `  a ) ) + e ( z D ( F `
 b ) ) )  =  ( ( ( F `  c
) D ( F `
 a ) ) + e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) )
7473breq2d 4051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) )  <-> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
( F `  c
) D ( F `
 a ) ) + e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) ) )
7574ralrn 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. z  e.  ran  F ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) )  <->  A. c  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
( F `  c
) D ( F `
 a ) ) + e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) ) )
7626, 75syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) )  <->  A. c  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( ( F `
 c ) D ( F `  a
) ) + e
( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) ) )
7732raleqdv 2755 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) ) )
7876, 77bitr3d 246 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  <_  (
( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) + e ( ( F `  c
) D ( F `
 b ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
7978adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( A. c  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  <_  (
( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) + e ( ( F `  c
) D ( F `
 b ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8070, 79mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) )
8154, 80jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8281ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8327eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  (
( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  0 ) )
84 eqeq2 2305 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  =  y  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
8583, 84bibi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( ( F `
 a ) D y )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  y )  <-> 
( ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) ) )
86 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
z D y )  =  ( z D ( F `  b
) ) )
8786oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) )  =  ( ( z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) )
8827, 87breq12d 4052 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) )  <-> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8988ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  ( A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
9085, 89anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) )  <->  ( (
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D ( F `  b
) ) ) ) ) )
9190ralrn 5684 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) )  <->  A. b  e.  V  ( (
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D ( F `  b
) ) ) ) ) )
9226, 91syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) ) ) )
9332raleqdv 2755 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) ) ) )
9492, 93bitr3d 246 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
9594ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D ( F `  b ) ) ) )  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
9682, 95mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) ) )
9737eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( F `  a
) D y )  =  0 ) )
98 eqeq1 2302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x  =  y  <->  ( F `  a )  =  y ) )
9997, 98bibi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  <-> 
( ( ( F `
 a ) D y )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  y ) ) )
100 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
z D x )  =  ( z D ( F `  a
) ) )
101100oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( z D x ) + e ( z D y ) )  =  ( ( z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) ) )
10237, 101breq12d 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) )  <-> 
( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) ) ) )
103102ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) + e ( z D y ) ) ) )
10499, 103anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) )  <->  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
105104ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
106105ralrn 5684 . . . . 5  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) )  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) + e ( z D y ) ) ) ) )
10726, 106syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) ) ) )
10832raleqdv 2755 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) ) ) )
109107, 108bitr3d 246 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a
) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) + e
( z D y ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) )
11096, 109mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) ) )
111 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
1122, 111syl6eqel 2384 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
113 fornex 5766 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  ( F : V -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
114112, 5, 113sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
115 isxmet 17905 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( D  e.  ( * Met `  B )  <->  ( D : ( B  X.  B ) --> RR*  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
116114, 115syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( * Met `  B
)  <->  ( D :
( B  X.  B
) --> RR*  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
11746, 110, 116mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   ran crn 4706    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   RR*cxr 8882    <_ cle 8884   + ecxad 10466   Basecbs 13164   distcds 13233    "s cimas 13423   * Metcxmt 16385
This theorem is referenced by:  imasf1omet  17956  xpsxmet  17960  imasf1obl  18050  imasf1oxms  18051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-imas 13427  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389
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