Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imasgim Structured version   Unicode version

Theorem imasgim 27255
 Description: A relabeling of the elements of a group induces an isomorphism to the relabeled group. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgim.u s
imasgim.v
imasgim.f
imasgim.r
Assertion
Ref Expression
imasgim GrpIso

Proof of Theorem imasgim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3
2 eqid 2438 . . 3
3 eqid 2438 . . 3
4 eqid 2438 . . 3
5 imasgim.r . . 3
6 imasgim.u . . . . 5 s
7 imasgim.v . . . . 5
8 eqidd 2439 . . . . 5
9 imasgim.f . . . . . 6
10 f1ofo 5684 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
129f1ocpbl 13755 . . . . 5
13 eqid 2438 . . . . 5
146, 7, 8, 11, 12, 5, 13imasgrp 14939 . . . 4
1514simpld 447 . . 3
166, 7, 11, 5imasbas 13743 . . . . . . 7
17 f1oeq3 5670 . . . . . . 7
1816, 17syl 16 . . . . . 6
199, 18mpbid 203 . . . . 5
20 f1oeq2 5669 . . . . . 6
217, 20syl 16 . . . . 5
2219, 21mpbid 203 . . . 4
23 f1of 5677 . . . 4
2422, 23syl 16 . . 3
257eleq2d 2505 . . . . . 6
267eleq2d 2505 . . . . . 6
2725, 26anbi12d 693 . . . . 5
2811, 12, 6, 7, 5, 3, 4imasaddval 13762 . . . . . . 7
2928eqcomd 2443 . . . . . 6
30293expib 1157 . . . . 5
3127, 30sylbird 228 . . . 4
3231imp 420 . . 3
331, 2, 3, 4, 5, 15, 24, 32isghmd 15020 . 2
341, 2isgim 15054 . 2 GrpIso
3533, 22, 34sylanbrc 647 1 GrpIso
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wf 5453  wfo 5455  wf1o 5456  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474   cplusg 13534  c0g 13728   s cimas 13735  cgrp 14690   cghm 15008   GrpIso cgim 15049 This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  27257 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-0g 13732  df-imas 13739  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-ghm 15009  df-gim 15051
 Copyright terms: Public domain W3C validator