Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasgrp2 Structured version   Unicode version

Theorem imasgrp2 14935
 Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgrp.u s
imasgrp.v
imasgrp.p
imasgrp.f
imasgrp.e
imasgrp2.r
imasgrp2.1
imasgrp2.2
imasgrp2.3
imasgrp2.4
imasgrp2.5
imasgrp2.6
Assertion
Ref Expression
imasgrp2
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,,,,,   ,,   ,,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,)   (,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem imasgrp2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasgrp.u . . . 4 s
2 imasgrp.v . . . 4
3 imasgrp.f . . . 4
4 imasgrp2.r . . . 4
51, 2, 3, 4imasbas 13740 . . 3
6 eqidd 2439 . . 3
7 imasgrp.e . . . . . 6
8 imasgrp.p . . . . . . . . . 10
98oveqd 6100 . . . . . . . . 9
109fveq2d 5734 . . . . . . . 8
118oveqd 6100 . . . . . . . . 9
1211fveq2d 5734 . . . . . . . 8
1310, 12eqeq12d 2452 . . . . . . 7
14133ad2ant1 979 . . . . . 6
157, 14sylibd 207 . . . . 5
16 eqid 2438 . . . . 5
17 eqid 2438 . . . . 5
1811adantr 453 . . . . . 6
19 imasgrp2.1 . . . . . . . 8
20193expb 1155 . . . . . . 7
2120caovclg 6241 . . . . . 6
2218, 21eqeltrrd 2513 . . . . 5
233, 15, 1, 2, 4, 16, 17, 22imasaddf 13760 . . . 4
24 fovrn 6218 . . . 4
2523, 24syl3an1 1218 . . 3
26 forn 5658 . . . . . . . . . 10
273, 26syl 16 . . . . . . . . 9
2827eleq2d 2505 . . . . . . . 8
2927eleq2d 2505 . . . . . . . 8
3027eleq2d 2505 . . . . . . . 8
3128, 29, 303anbi123d 1255 . . . . . . 7
32 fofn 5657 . . . . . . . . 9
333, 32syl 16 . . . . . . . 8
34 fvelrnb 5776 . . . . . . . . 9
35 fvelrnb 5776 . . . . . . . . 9
36 fvelrnb 5776 . . . . . . . . 9
3734, 35, 363anbi123d 1255 . . . . . . . 8
3833, 37syl 16 . . . . . . 7
3931, 38bitr3d 248 . . . . . 6
40 3reeanv 2878 . . . . . 6
4139, 40syl6bbr 256 . . . . 5
42 imasgrp2.2 . . . . . . . . . . . . 13
438adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443oveqd 6100 . . . . . . . . . . . . . 14
4544fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13
4643oveqd 6100 . . . . . . . . . . . . . 14
4746fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13
4842, 45, 473eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . 12
49 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13
50193adant3r3 1165 . . . . . . . . . . . . 13
51 simpr3 966 . . . . . . . . . . . . 13
523, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 13759 . . . . . . . . . . . . 13
5349, 50, 51, 52syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12
54 simpr1 964 . . . . . . . . . . . . 13
5521caovclg 6241 . . . . . . . . . . . . . 14
56553adantr1 1117 . . . . . . . . . . . . 13
573, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 13759 . . . . . . . . . . . . 13
5849, 54, 56, 57syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12
5948, 53, 583eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11
603, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 13759 . . . . . . . . . . . . . 14
61603adant3r3 1165 . . . . . . . . . . . . 13
6243oveqd 6100 . . . . . . . . . . . . . 14
6362fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13
6461, 63eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12
6564oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11
663, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 13759 . . . . . . . . . . . . . 14
67663adant3r1 1163 . . . . . . . . . . . . 13
6843oveqd 6100 . . . . . . . . . . . . . 14
6968fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13
7067, 69eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12
7170oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11
7259, 65, 713eqtr4d 2480 . . . . . . . . . 10
73 simp1 958 . . . . . . . . . . . . 13
74 simp2 959 . . . . . . . . . . . . 13
7573, 74oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12
76 simp3 960 . . . . . . . . . . . 12
7775, 76oveq12d 6101 . . . . . . . . . . 11
7874, 76oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12
7973, 78oveq12d 6101 . . . . . . . . . . 11
8077, 79eqeq12d 2452 . . . . . . . . . 10
8172, 80syl5ibcom 213 . . . . . . . . 9
82813exp2 1172 . . . . . . . 8
8382imp32 424 . . . . . . 7
8483rexlimdv 2831 . . . . . 6
8584rexlimdvva 2839 . . . . 5
8641, 85sylbid 208 . . . 4
8786imp 420 . . 3
88 fof 5655 . . . . 5
893, 88syl 16 . . . 4
90 imasgrp2.3 . . . 4
9189, 90ffvelrnd 5873 . . 3
9233, 34syl 16 . . . . . 6
9328, 92bitr3d 248 . . . . 5
94 simpl 445 . . . . . . . . 9
9590adantr 453 . . . . . . . . 9
96 simpr 449 . . . . . . . . 9
973, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 13759 . . . . . . . . 9
9894, 95, 96, 97syl3anc 1185 . . . . . . . 8
998adantr 453 . . . . . . . . . 10
10099oveqd 6100 . . . . . . . . 9
101100fveq2d 5734 . . . . . . . 8
102 imasgrp2.4 . . . . . . . 8
10398, 101, 1023eqtr2d 2476 . . . . . . 7
104 oveq2 6091 . . . . . . . 8
105 id 21 . . . . . . . 8
106104, 105eqeq12d 2452 . . . . . . 7
107103, 106syl5ibcom 213 . . . . . 6
108107rexlimdva 2832 . . . . 5
10993, 108sylbid 208 . . . 4
110109imp 420 . . 3
11189adantr 453 . . . . . . . . 9
112 imasgrp2.5 . . . . . . . . 9
113111, 112ffvelrnd 5873 . . . . . . . 8
1143, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 13759 . . . . . . . . . 10
11594, 112, 96, 114syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
11699oveqd 6100 . . . . . . . . . 10
117116fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
118 imasgrp2.6 . . . . . . . . 9
119115, 117, 1183eqtr2d 2476 . . . . . . . 8
120 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10
121120eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9
122121rspcev 3054 . . . . . . . 8
123113, 119, 122syl2anc 644 . . . . . . 7
124 oveq2 6091 . . . . . . . . 9
125124eqeq1d 2446 . . . . . . . 8
126125rexbidv 2728 . . . . . . 7
127123, 126syl5ibcom 213 . . . . . 6
128127rexlimdva 2832 . . . . 5
12993, 128sylbid 208 . . . 4
130129imp 420 . . 3
1315, 6, 25, 87, 91, 110, 130isgrpde 14831 . 2
1325, 6, 91, 110, 131grpidd2 14844 . 2
133131, 132jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708   cxp 4878   crn 4881   wfn 5451  wf 5452  wfo 5454  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  c0g 13725   s cimas 13732  cgrp 14687 This theorem is referenced by:  imasgrp  14936  divsgrp2  14938 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-0g 13729  df-imas 13736  df-mnd 14692  df-grp 14814
 Copyright terms: Public domain W3C validator