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Theorem imasgrp2 14610
Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgrp.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasgrp.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasgrp.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
imasgrp.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasgrp.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
imasgrp2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
imasgrp2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x  .+  y )  e.  V
)
imasgrp2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
imasgrp2.3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
imasgrp2.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  x
) )
imasgrp2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  N  e.  V )
imasgrp2.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( N  .+  x ) )  =  ( F `  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
imasgrp2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Grp  /\  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, x, B    N, p    a,
b, p, q, x, y, z, ph    R, p, q    F, a, b, p, q, x, y, z    .+ , p, q, x, y    U, a, b, p, q, x, y, z    V, a, b, p, q, x, y, z    .0. , p, q, x
Allowed substitution hints:    B( y, z, a, b)    .+ ( z, a, b)    R( x, y, z, a, b)    N( x, y, z, q, a, b)    W( x, y, z, q, p, a, b)    .0. ( y, z, a, b)

Proof of Theorem imasgrp2
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasgrp.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasgrp.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasgrp.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasgrp2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
51, 2, 3, 4imasbas 13415 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
6 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
)  =  ( +g  `  U ) )
7 imasgrp.e . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
8 imasgrp.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
98oveqd 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  .+  b
)  =  ( a ( +g  `  R
) b ) )
109fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( a ( +g  `  R ) b ) ) )
118oveqd 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( p  .+  q
)  =  ( p ( +g  `  R
) q ) )
1211fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  (
p  .+  q )
)  =  ( F `
 ( p ( +g  `  R ) q ) ) )
1310, 12eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( a  .+  b
) )  =  ( F `  ( p 
.+  q ) )  <-> 
( F `  (
a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( F `  ( p ( +g  `  R ) q ) ) ) )
14133ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( ( F `  ( a  .+  b ) )  =  ( F `  (
p  .+  q )
)  <->  ( F `  ( a ( +g  `  R ) b ) )  =  ( F `
 ( p ( +g  `  R ) q ) ) ) )
157, 14sylibd 205 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( F `  ( p ( +g  `  R ) q ) ) ) )
16 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
17 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
1811adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .+  q
)  =  ( p ( +g  `  R
) q ) )
19 imasgrp2.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x  .+  y )  e.  V
)
20193expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
2120caovclg 6012 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .+  q
)  e.  V )
2218, 21eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p ( +g  `  R ) q )  e.  V )
233, 15, 1, 2, 4, 16, 17, 22imasaddf 13435 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
) : ( B  X.  B ) --> B )
24 fovrn 5990 . . . 4  |-  ( ( ( +g  `  U
) : ( B  X.  B ) --> B  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  U ) v )  e.  B
)
2523, 24syl3an1 1215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  U ) v )  e.  B
)
26 forn 5454 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
273, 26syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
2827eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <-> 
u  e.  B ) )
2927eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ran  F  <-> 
v  e.  B ) )
3027eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  F  <-> 
w  e.  B ) )
3128, 29, 303anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
32 fofn 5453 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
333, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
34 fvelrnb 5570 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
35 fvelrnb 5570 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
v  e.  ran  F  <->  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v ) )
36 fvelrnb 5570 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
w  e.  ran  F  <->  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
3734, 35, 363anbi123d 1252 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  (
( u  e.  ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
3833, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
3931, 38bitr3d 246 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
40 3reeanv 2708 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  (
( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
4139, 40syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `  x )  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w ) ) )
42 imasgrp2.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
438adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
4443oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x  .+  y ) ( +g  `  R
) z ) )
4544fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( ( x 
.+  y ) ( +g  `  R ) z ) ) )
4643oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x ( +g  `  R
) ( y  .+  z ) ) )
4746fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
x  .+  ( y  .+  z ) ) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R ) ( y 
.+  z ) ) ) )
4842, 45, 473eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
) ( +g  `  R
) z ) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R ) ( y 
.+  z ) ) ) )
49 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  ph )
50193adant3r3 1162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
51 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
523, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 13434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .+  y )  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( ( x  .+  y ) ( +g  `  R
) z ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( F `  (
( x  .+  y
) ( +g  `  R
) z ) ) )
54 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
5521caovclg 6012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
56553adantr1 1114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
573, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 13434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( y  .+  z )  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R
) ( y  .+  z ) ) ) )
5849, 54, 56, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 ( y  .+  z ) ) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R ) ( y 
.+  z ) ) ) )
5948, 53, 583eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 ( y  .+  z ) ) ) )
603, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 13434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  y
) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) ) )
61603adant3r3 1162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) ) )
6243oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  R
) y ) )
6362fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
x  .+  y )
)  =  ( F `
 ( x ( +g  `  R ) y ) ) )
6461, 63eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( F `  ( x  .+  y ) ) )
6564oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) ) )
663, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 13434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  y )
( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) ) )
67663adant3r1 1160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
6843oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  =  ( y ( +g  `  R
) z ) )
6968fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
y  .+  z )
)  =  ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
7067, 69eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( y  .+  z
) ) )
7170oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) ) )
7259, 65, 713eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) ) ) )
73 simp1 955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  x )  =  u )
74 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  y )  =  v )
7573, 74oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  y ) )  =  ( u ( +g  `  U ) v ) )
76 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  z )  =  w )
7775, 76oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U ) w ) )
7874, 76oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( v ( +g  `  U ) w ) )
7973, 78oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( ( F `
 y ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) ) )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) )
8077, 79eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) ) )  <->  ( ( u ( +g  `  U
) v ) ( +g  `  U ) w )  =  ( u ( +g  `  U
) ( v ( +g  `  U ) w ) ) ) )
8172, 80syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
82813exp2 1169 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  V  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) ) ) ) )
8382imp32 422 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) ) )
8483rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
8584rexlimdvva 2674 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
8641, 85sylbid 206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
8786imp 418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U ) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U ) w ) ) )
88 fof 5451 . . . . 5  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
893, 88syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
90 imasgrp2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
91 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( F : V --> B  /\  .0.  e.  V )  -> 
( F `  .0.  )  e.  B )
9289, 90, 91syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  e.  B )
9333, 34syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
9428, 93bitr3d 246 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
95 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ph )
9690adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  .0.  e.  V )
97 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
983, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 13434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  .0.  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  (  .0.  ( +g  `  R
) x ) ) )
9995, 96, 97, 98syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  (  .0.  ( +g  `  R
) x ) ) )
1008adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
101100oveqd 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (  .0.  .+  x )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) x ) )
102101fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  (  .0.  ( +g  `  R
) x ) ) )
103 imasgrp2.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  x
) )
10499, 102, 1033eqtr2d 2321 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
105 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u ) )
106 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  ( F `  x )  =  u )
107105, 106eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  x
)  <->  ( ( F `
 .0.  ) ( +g  `  U ) u )  =  u ) )
108104, 107syl5ibcom 211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u ) )
109108rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( ( F `
 .0.  ) ( +g  `  U ) u )  =  u ) )
11094, 109sylbid 206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u ) )
111110imp 418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u )
11289adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  F : V --> B )
113 imasgrp2.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  N  e.  V )
114 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : V --> B  /\  N  e.  V )  ->  ( F `  N
)  e.  B )
115112, 113, 114syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  N )  e.  B )
1163, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 13434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( F `  N )
( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  ( N ( +g  `  R
) x ) ) )
11795, 113, 97, 116syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  N
) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  ( N ( +g  `  R
) x ) ) )
118100oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( N  .+  x )  =  ( N ( +g  `  R ) x ) )
119118fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( N  .+  x ) )  =  ( F `  ( N ( +g  `  R
) x ) ) )
120 imasgrp2.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( N  .+  x ) )  =  ( F `  .0.  ) )
121117, 119, 1203eqtr2d 2321 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  N
) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  .0.  ) )
122 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  N )  ->  (
v ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( ( F `  N ) ( +g  `  U ) ( F `
 x ) ) )
123122eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  N )  ->  (
( v ( +g  `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  .0.  )  <->  ( ( F `
 N ) ( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  .0.  )
) )
124123rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  B  /\  ( ( F `  N ) ( +g  `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  .0.  ) )  ->  E. v  e.  B  ( v
( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  .0.  )
)
125115, 121, 124syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  E. v  e.  B  ( v
( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  .0.  )
)
126 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
v ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( v ( +g  `  U ) u ) )
127126eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( v ( +g  `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  .0.  )  <->  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  )
) )
128127rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  ( E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  .0.  )  <->  E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  ) ) )
129125, 128syl5ibcom 211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  ->  E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  ) ) )
130129rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  ) ) )
13194, 130sylbid 206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  ) ) )
132131imp 418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  E. v  e.  B  ( v
( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  )
)
1335, 6, 25, 87, 92, 111, 132isgrpde 14506 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  Grp )
1345, 6, 92, 111, 133grpidd2 14519 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) )
135133, 134jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Grp  /\  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    X. cxp 4687   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400    "s cimas 13407   Grpcgrp 14362
This theorem is referenced by:  imasgrp  14611  divsgrp2  14613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-mnd 14367  df-grp 14489
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