Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasle Unicode version

Theorem imasle 13635
 Description: The ordering of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u s
imasbas.v
imasbas.f
imasbas.r
imasle.n
imasle.l
Assertion
Ref Expression
imasle

Proof of Theorem imasle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasle.l . 2
2 imasbas.u . . . . 5 s
3 imasbas.v . . . . 5
4 eqid 2366 . . . . 5
5 eqid 2366 . . . . 5
6 eqid 2366 . . . . 5 Scalar Scalar
7 eqid 2366 . . . . 5 Scalar Scalar
8 eqid 2366 . . . . 5
9 eqid 2366 . . . . 5
10 eqid 2366 . . . . 5
11 imasle.n . . . . 5
12 imasbas.f . . . . . 6
13 imasbas.r . . . . . 6
14 eqid 2366 . . . . . 6
152, 3, 12, 13, 4, 14imasplusg 13630 . . . . 5
16 eqid 2366 . . . . . 6
172, 3, 12, 13, 5, 16imasmulr 13631 . . . . 5
18 eqid 2366 . . . . . 6
192, 3, 12, 13, 6, 7, 8, 18imasvsca 13633 . . . . 5 Scalar
20 eqid 2366 . . . . . 6 TopSet TopSet
212, 3, 12, 13, 9, 20imastset 13634 . . . . 5 TopSet qTop
22 eqid 2366 . . . . . 6
232, 3, 12, 13, 10, 22imasds 13626 . . . . 5 g
24 eqidd 2367 . . . . 5
252, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 12, 13imasval 13624 . . . 4 Scalar Scalar TopSet TopSet
2625fveq2d 5636 . . 3 Scalar Scalar TopSet TopSet
27 fof 5557 . . . . . . . 8
2812, 27syl 15 . . . . . . 7
29 fvex 5646 . . . . . . . 8
303, 29syl6eqel 2454 . . . . . . 7
31 fex 5869 . . . . . . 7
3228, 30, 31syl2anc 642 . . . . . 6
33 fvex 5646 . . . . . . 7
3411, 33eqeltri 2436 . . . . . 6
35 coexg 5318 . . . . . 6
3632, 34, 35sylancl 643 . . . . 5
37 cnvexg 5311 . . . . . 6
3832, 37syl 15 . . . . 5
39 coexg 5318 . . . . 5
4036, 38, 39syl2anc 642 . . . 4
41 eqid 2366 . . . . . 6 Scalar Scalar TopSet TopSet Scalar Scalar TopSet TopSet
4241imasvalstr 13562 . . . . 5 Scalar Scalar TopSet TopSet Struct ;
43 pleid 13509 . . . . 5 Slot
44 snsstp2 3865 . . . . . 6 TopSet TopSet
45 ssun2 3427 . . . . . 6 TopSet TopSet Scalar Scalar TopSet TopSet
4644, 45sstri 3274 . . . . 5 Scalar Scalar TopSet TopSet
4742, 43, 46strfv 13388 . . . 4 Scalar Scalar TopSet TopSet
4840, 47syl 15 . . 3 Scalar Scalar TopSet TopSet
4926, 48eqtr4d 2401 . 2
501, 49syl5eq 2410 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1647   wcel 1715  cvv 2873   cun 3236  csn 3729  cpr 3730  ctp 3731  cop 3732  ccnv 4791   ccom 4796  wf 5354  wfo 5356  cfv 5358  (class class class)co 5981  c1 8885  c2 9942  ;cdc 10275  cnx 13353  cbs 13356   cplusg 13416  cmulr 13417  Scalarcsca 13419  cvsca 13420  TopSetcts 13422  cple 13423  cds 13425  ctopn 13536   s cimas 13617 This theorem is referenced by:  imasless  13652  imasleval  13653 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-imas 13621
 Copyright terms: Public domain W3C validator