MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasless Structured version   Unicode version

Theorem imasless 13796
Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasless.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasless.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasless.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasless.l  |-  .<_  =  ( le `  U )
Assertion
Ref Expression
imasless  |-  ( ph  -> 
.<_  C_  ( B  X.  B ) )

Proof of Theorem imasless
StepHypRef Expression
1 imasless.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasless.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasless.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasless.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 eqid 2442 . . 3  |-  ( le
`  R )  =  ( le `  R
)
6 imasless.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6imasle 13779 . 2  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F ) )
8 relco 5397 . . . 4  |-  Rel  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )
9 relssdmrn 5419 . . . 4  |-  ( Rel  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  ->  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F ) 
C_  ( dom  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  X.  ran  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F ) )
11 dmco 5407 . . . . 5  |-  dom  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  =  ( `' `' F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) )
12 fof 5682 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
13 frel 5623 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V --> B  ->  Rel  F )
143, 12, 133syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Rel  F )
15 dfrel2 5350 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
1614, 15sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' `' F  =  F
)
1716imaeq1d 5231 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' `' F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) )  =  ( F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) ) )
18 imassrn 5245 . . . . . . 7  |-  ( F
" dom  ( F  o.  ( le `  R
) ) )  C_  ran  F
19 forn 5685 . . . . . . . 8  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
203, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
2118, 20syl5sseq 3382 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) )  C_  B )
2217, 21eqsstrd 3368 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' `' F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) )  C_  B
)
2311, 22syl5eqss 3378 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  B
)
24 rncoss 5165 . . . . 5  |-  ran  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F ) 
C_  ran  ( F  o.  ( le `  R
) )
25 rnco2 5406 . . . . . 6  |-  ran  ( F  o.  ( le `  R ) )  =  ( F " ran  ( le `  R ) )
26 imassrn 5245 . . . . . . 7  |-  ( F
" ran  ( le `  R ) )  C_  ran  F
2726, 20syl5sseq 3382 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " ran  ( le `  R ) )  C_  B )
2825, 27syl5eqss 3378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( F  o.  ( le `  R ) )  C_  B )
2924, 28syl5ss 3345 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  B
)
30 xpss12 5010 . . . 4  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  B  /\  ran  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  B
)  ->  ( dom  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F ) )  C_  ( B  X.  B ) )
3123, 29, 30syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F )  X.  ran  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F ) )  C_  ( B  X.  B ) )
3210, 31syl5ss 3345 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  C_  ( B  X.  B ) )
337, 32eqsstrd 3368 1  |-  ( ph  -> 
.<_  C_  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727    C_ wss 3306    X. cxp 4905   `'ccnv 4906   dom cdm 4907   ran crn 4908   "cima 4910    o. ccom 4911   Rel wrel 4912   -->wf 5479   -onto->wfo 5481   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   lecple 13567    "s cimas 13761
This theorem is referenced by:  xpsless  13836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-imas 13765
  Copyright terms: Public domain W3C validator