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Theorem imasleval 13443
Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasless.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasless.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasless.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasless.l  |-  .<_  =  ( le `  U )
imasleval.n  |-  N  =  ( le `  R
)
imasleval.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  -> 
( a N b  <-> 
c N d ) ) )
Assertion
Ref Expression
imasleval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
)  <->  X N Y ) )
Distinct variable groups:    c, d,  .<_   
a, b, c, d, F    N, a, b, c, d    V, a, b, c, d    Y, d    ph, a,
b, c, d    X, c, d
Allowed substitution hints:    B( a, b, c, d)    R( a, b, c, d)    U( a, b, c, d)    .<_ ( a, b)    X( a, b)    Y( a, b, c)    Z( a, b, c, d)

Proof of Theorem imasleval
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( c  =  X  ->  ( F `  c )  =  ( F `  X ) )
21breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( c  =  X  ->  (
( F `  c
)  .<_  ( F `  d )  <->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 d ) ) )
3 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( c  =  X  ->  (
c N d  <->  X N
d ) )
42, 3bibi12d 312 . . . . 5  |-  ( c  =  X  ->  (
( ( F `  c )  .<_  ( F `
 d )  <->  c N
d )  <->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  d
)  <->  X N d ) ) )
54imbi2d 307 . . . 4  |-  ( c  =  X  ->  (
( ph  ->  ( ( F `  c ) 
.<_  ( F `  d
)  <->  c N d ) )  <->  ( ph  ->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `
 d )  <->  X N
d ) ) ) )
6 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( d  =  Y  ->  ( F `  d )  =  ( F `  Y ) )
76breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( d  =  Y  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  d )  <->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) ) )
8 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( d  =  Y  ->  ( X N d  <->  X N Y ) )
97, 8bibi12d 312 . . . . 5  |-  ( d  =  Y  ->  (
( ( F `  X )  .<_  ( F `
 d )  <->  X N
d )  <->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
)  <->  X N Y ) ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( d  =  Y  ->  (
( ph  ->  ( ( F `  X ) 
.<_  ( F `  d
)  <->  X N d ) )  <->  ( ph  ->  ( ( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  <->  X N Y ) ) ) )
11 imasless.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
12 fofn 5453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
1413adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  F  Fn  V )
15 fndm 5343 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  V  ->  dom  F  =  V )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  dom  F  =  V )
1716rexeqdv 2743 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. a  e. 
dom  F ( a F ( F `  c )  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) )  <->  E. a  e.  V  ( a F ( F `  c )  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) ) ) )
18 fnbrfvb 5563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  V  /\  a  e.  V )  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  c )  <-> 
a F ( F `
 c ) ) )
1914, 18sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  <->  a F
( F `  c
) ) )
2019anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) ) )
21 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a N b  /\  b F ( F `  d ) )  <->  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) )
22 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  b  e. 
_V
23 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 d )  e. 
_V
2422, 23breldm 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b F ( F `  d )  ->  b  e.  dom  F )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b F ( F `
 d )  /\  a N b )  -> 
b  e.  dom  F
)
2625pm4.71ri 614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b F ( F `
 d )  /\  a N b )  <->  ( b  e.  dom  F  /\  (
b F ( F `
 d )  /\  a N b ) ) )
2721, 26bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a N b  /\  b F ( F `  d ) )  <->  ( b  e.  dom  F  /\  (
b F ( F `
 d )  /\  a N b ) ) )
2827exbii 1569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b ( a N b  /\  b F ( F `  d
) )  <->  E. b
( b  e.  dom  F  /\  ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b ) ) )
29 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  a  e. 
_V
3029, 23brco 4852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a ( F  o.  N
) ( F `  d )  <->  E. b
( a N b  /\  b F ( F `  d ) ) )
31 df-rex 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b  e.  dom  F
( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  E. b ( b  e.  dom  F  /\  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
3228, 30, 313bitr4i 268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a ( F  o.  N
) ( F `  d )  <->  E. b  e.  dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) )
3314ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  ->  F  Fn  V )
34 fnbrfvb 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  V  /\  b  e.  V )  ->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  <-> 
b F ( F `
 d ) ) )
3533, 34sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  <-> 
b F ( F `
 d ) ) )
3635anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( ( F `
 b )  =  ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
37 imasleval.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  -> 
( a N b  <-> 
c N d ) ) )
38373expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  ->  ( a N b  <->  c N
d ) ) )
3938an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  ->  ( a N b  <->  c N
d ) ) )
4039anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  b  e.  V )  ->  (
( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  ->  ( a N b  <->  c N
d ) ) )
4140impl 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  /\  a  e.  V )  /\  b  e.  V
)  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  ( F `
 b )  =  ( F `  d
) )  ->  (
a N b  <->  c N
d ) )
4241pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  b  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( ( F `
 b )  =  ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4342an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( ( F `
 b )  =  ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4436, 43bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4544rexbidva 2560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e.  V  ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  E. b  e.  V  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
46 r19.41v 2693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b  e.  V  ( ( F `  b
)  =  ( F `
 d )  /\  c N d )  <->  ( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) )
4745, 46syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e.  V  ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4816rexeqdv 2743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. b  e. 
dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  E. b  e.  V  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
4948ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e. 
dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  E. b  e.  V  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
50 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
d  e.  V )
51 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 d )  =  ( F `  d
)
52 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  d  ->  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
5352eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  d  ->  (
( F `  b
)  =  ( F `
 d )  <->  ( F `  d )  =  ( F `  d ) ) )
5453rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  V  /\  ( F `  d )  =  ( F `  d ) )  ->  E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
5550, 51, 54sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
5655biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c N d  <-> 
( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( c N d  <-> 
( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
5847, 49, 573bitr4d 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e. 
dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  c N
d ) )
5932, 58syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( a ( F  o.  N ) ( F `  d )  <-> 
c N d ) )
6059pm5.32da 622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  c N
d ) ) )
6120, 60bitr3d 246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  c N
d ) ) )
6261rexbidva 2560 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. a  e.  V  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) )  <->  E. a  e.  V  ( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
6317, 62bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. a  e. 
dom  F ( a F ( F `  c )  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) )  <->  E. a  e.  V  ( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
64 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
6564, 29brcnv 4864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  c ) `' F a  <->  a F
( F `  c
) )
6665anbi1i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  c
) `' F a  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) )
6729, 64breldm 4883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a F ( F `  c )  ->  a  e.  dom  F )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a F ( F `
 c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `
 d ) )  ->  a  e.  dom  F )
6968pm4.71ri 614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a F ( F `
 c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `
 d ) )  <-> 
( a  e.  dom  F  /\  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) ) )
7066, 69bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  c
) `' F a  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( a  e. 
dom  F  /\  (
a F ( F `
 c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `
 d ) ) ) )
7170exbii 1569 . . . . . . . 8  |-  ( E. a ( ( F `
 c ) `' F a  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) )  <->  E. a
( a  e.  dom  F  /\  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) ) )
7264, 23brco 4852 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `
 d )  <->  E. a
( ( F `  c ) `' F
a  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) )
73 df-rex 2549 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  dom  F
( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  E. a ( a  e.  dom  F  /\  ( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) ) ) )
7471, 72, 733bitr4ri 269 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  dom  F
( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `  d
) )
75 r19.41v 2693 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  V  ( ( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  c N d )  <->  ( E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) )
7663, 74, 753bitr3g 278 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `  d
)  <->  ( E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
77 imasless.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
78 imasless.v . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
79 imasless.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
80 imasleval.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( le `  R
)
81 imasless.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  U )
8277, 78, 11, 79, 80, 81imasle 13425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) )
8382adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  .<_  =  ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) )
8483breqd 4034 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( F `  c )  .<_  ( F `
 d )  <->  ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `  d
) ) )
85 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
c  e.  V )
86 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 c )  =  ( F `  c
)
87 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  c  ->  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
8887eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  c  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  <->  ( F `  c )  =  ( F `  c ) ) )
8988rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  V  /\  ( F `  c )  =  ( F `  c ) )  ->  E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
9085, 86, 89sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
9190biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c N d  <-> 
( E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
9276, 84, 913bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( F `  c )  .<_  ( F `
 d )  <->  c N
d ) )
9392expcom 424 . . . 4  |-  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( ph  ->  (
( F `  c
)  .<_  ( F `  d )  <->  c N
d ) ) )
945, 10, 93vtocl2ga 2851 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ph  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  <->  X N Y ) ) )
9594com12 27 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  <->  X N Y ) ) )
96953impib 1149 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
)  <->  X N Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215    "s cimas 13407
This theorem is referenced by:  xpsle  13483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-imas 13411
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