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Theorem imasleval 13758
Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasless.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasless.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasless.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasless.l  |-  .<_  =  ( le `  U )
imasleval.n  |-  N  =  ( le `  R
)
imasleval.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  -> 
( a N b  <-> 
c N d ) ) )
Assertion
Ref Expression
imasleval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
)  <->  X N Y ) )
Distinct variable groups:    c, d,  .<_   
a, b, c, d, F    N, a, b, c, d    V, a, b, c, d    Y, d    ph, a,
b, c, d    X, c, d
Allowed substitution hints:    B( a, b, c, d)    R( a, b, c, d)    U( a, b, c, d)    .<_ ( a, b)    X( a, b)    Y( a, b, c)    Z( a, b, c, d)

Proof of Theorem imasleval
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( c  =  X  ->  ( F `  c )  =  ( F `  X ) )
21breq1d 4214 . . . . . 6  |-  ( c  =  X  ->  (
( F `  c
)  .<_  ( F `  d )  <->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 d ) ) )
3 breq1 4207 . . . . . 6  |-  ( c  =  X  ->  (
c N d  <->  X N
d ) )
42, 3bibi12d 313 . . . . 5  |-  ( c  =  X  ->  (
( ( F `  c )  .<_  ( F `
 d )  <->  c N
d )  <->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  d
)  <->  X N d ) ) )
54imbi2d 308 . . . 4  |-  ( c  =  X  ->  (
( ph  ->  ( ( F `  c ) 
.<_  ( F `  d
)  <->  c N d ) )  <->  ( ph  ->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `
 d )  <->  X N
d ) ) ) )
6 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( d  =  Y  ->  ( F `  d )  =  ( F `  Y ) )
76breq2d 4216 . . . . . 6  |-  ( d  =  Y  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  d )  <->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) ) )
8 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( d  =  Y  ->  ( X N d  <->  X N Y ) )
97, 8bibi12d 313 . . . . 5  |-  ( d  =  Y  ->  (
( ( F `  X )  .<_  ( F `
 d )  <->  X N
d )  <->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
)  <->  X N Y ) ) )
109imbi2d 308 . . . 4  |-  ( d  =  Y  ->  (
( ph  ->  ( ( F `  X ) 
.<_  ( F `  d
)  <->  X N d ) )  <->  ( ph  ->  ( ( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  <->  X N Y ) ) ) )
11 imasless.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
12 fofn 5647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
1413adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  F  Fn  V )
15 fndm 5536 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  V  ->  dom  F  =  V )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  dom  F  =  V )
1716rexeqdv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. a  e. 
dom  F ( a F ( F `  c )  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) )  <->  E. a  e.  V  ( a F ( F `  c )  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) ) ) )
18 fnbrfvb 5759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  V  /\  a  e.  V )  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  c )  <-> 
a F ( F `
 c ) ) )
1914, 18sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  <->  a F
( F `  c
) ) )
2019anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) ) )
21 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a N b  /\  b F ( F `  d ) )  <->  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) )
22 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  b  e. 
_V
23 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 d )  e. 
_V
2422, 23breldm 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b F ( F `  d )  ->  b  e.  dom  F )
2524adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b F ( F `
 d )  /\  a N b )  -> 
b  e.  dom  F
)
2625pm4.71ri 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b F ( F `
 d )  /\  a N b )  <->  ( b  e.  dom  F  /\  (
b F ( F `
 d )  /\  a N b ) ) )
2721, 26bitri 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a N b  /\  b F ( F `  d ) )  <->  ( b  e.  dom  F  /\  (
b F ( F `
 d )  /\  a N b ) ) )
2827exbii 1592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b ( a N b  /\  b F ( F `  d
) )  <->  E. b
( b  e.  dom  F  /\  ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b ) ) )
29 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  a  e. 
_V
3029, 23brco 5035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a ( F  o.  N
) ( F `  d )  <->  E. b
( a N b  /\  b F ( F `  d ) ) )
31 df-rex 2703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b  e.  dom  F
( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  E. b ( b  e.  dom  F  /\  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
3228, 30, 313bitr4i 269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a ( F  o.  N
) ( F `  d )  <->  E. b  e.  dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) )
3314ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  ->  F  Fn  V )
34 fnbrfvb 5759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  V  /\  b  e.  V )  ->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  <-> 
b F ( F `
 d ) ) )
3533, 34sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  <-> 
b F ( F `
 d ) ) )
3635anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( ( F `
 b )  =  ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
37 imasleval.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  -> 
( a N b  <-> 
c N d ) ) )
38373expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  ->  ( a N b  <->  c N
d ) ) )
3938an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  ->  ( a N b  <->  c N
d ) ) )
4039anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  b  e.  V )  ->  (
( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  ->  ( a N b  <->  c N
d ) ) )
4140impl 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  /\  a  e.  V )  /\  b  e.  V
)  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  ( F `
 b )  =  ( F `  d
) )  ->  (
a N b  <->  c N
d ) )
4241pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  b  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( ( F `
 b )  =  ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4342an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( ( F `
 b )  =  ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4436, 43bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4544rexbidva 2714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e.  V  ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  E. b  e.  V  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
46 r19.41v 2853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b  e.  V  ( ( F `  b
)  =  ( F `
 d )  /\  c N d )  <->  ( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) )
4745, 46syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e.  V  ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4816rexeqdv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. b  e. 
dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  E. b  e.  V  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
4948ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e. 
dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  E. b  e.  V  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
50 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
d  e.  V )
51 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 d )  =  ( F `  d
)
52 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  d  ->  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
5352eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  d  ->  (
( F `  b
)  =  ( F `
 d )  <->  ( F `  d )  =  ( F `  d ) ) )
5453rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  V  /\  ( F `  d )  =  ( F `  d ) )  ->  E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
5550, 51, 54sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
5655biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c N d  <-> 
( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
5756ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( c N d  <-> 
( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
5847, 49, 573bitr4d 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e. 
dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  c N
d ) )
5932, 58syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( a ( F  o.  N ) ( F `  d )  <-> 
c N d ) )
6059pm5.32da 623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  c N
d ) ) )
6120, 60bitr3d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  c N
d ) ) )
6261rexbidva 2714 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. a  e.  V  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) )  <->  E. a  e.  V  ( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
6317, 62bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. a  e. 
dom  F ( a F ( F `  c )  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) )  <->  E. a  e.  V  ( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
64 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
6564, 29brcnv 5047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  c ) `' F a  <->  a F
( F `  c
) )
6665anbi1i 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  c
) `' F a  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) )
6729, 64breldm 5066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a F ( F `  c )  ->  a  e.  dom  F )
6867adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a F ( F `
 c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `
 d ) )  ->  a  e.  dom  F )
6968pm4.71ri 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a F ( F `
 c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `
 d ) )  <-> 
( a  e.  dom  F  /\  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) ) )
7066, 69bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  c
) `' F a  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( a  e. 
dom  F  /\  (
a F ( F `
 c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `
 d ) ) ) )
7170exbii 1592 . . . . . . . 8  |-  ( E. a ( ( F `
 c ) `' F a  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) )  <->  E. a
( a  e.  dom  F  /\  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) ) )
7264, 23brco 5035 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `
 d )  <->  E. a
( ( F `  c ) `' F
a  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) )
73 df-rex 2703 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  dom  F
( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  E. a ( a  e.  dom  F  /\  ( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) ) ) )
7471, 72, 733bitr4ri 270 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  dom  F
( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `  d
) )
75 r19.41v 2853 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  V  ( ( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  c N d )  <->  ( E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) )
7663, 74, 753bitr3g 279 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `  d
)  <->  ( E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
77 imasless.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
78 imasless.v . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
79 imasless.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
80 imasleval.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( le `  R
)
81 imasless.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  U )
8277, 78, 11, 79, 80, 81imasle 13740 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) )
8382adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  .<_  =  ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) )
8483breqd 4215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( F `  c )  .<_  ( F `
 d )  <->  ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `  d
) ) )
85 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
c  e.  V )
86 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 c )  =  ( F `  c
)
87 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  c  ->  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
8887eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  c  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  <->  ( F `  c )  =  ( F `  c ) ) )
8988rspcev 3044 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  V  /\  ( F `  c )  =  ( F `  c ) )  ->  E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
9085, 86, 89sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
9190biantrurd 495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c N d  <-> 
( E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
9276, 84, 913bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( F `  c )  .<_  ( F `
 d )  <->  c N
d ) )
9392expcom 425 . . . 4  |-  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( ph  ->  (
( F `  c
)  .<_  ( F `  d )  <->  c N
d ) ) )
945, 10, 93vtocl2ga 3011 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ph  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  <->  X N Y ) ) )
9594com12 29 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  <->  X N Y ) ) )
96953impib 1151 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
)  <->  X N Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   dom cdm 4870    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   -onto->wfo 5444   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528    "s cimas 13722
This theorem is referenced by:  xpsle  13798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-imas 13726
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