MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasmndf1 Unicode version

Theorem imasmndf1 14663
Description: The image of a monoid under an injection is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmndf1.u  |-  U  =  ( F  "s  R )
imasmndf1.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
imasmndf1  |-  ( ( F : V -1-1-> B  /\  R  e.  Mnd )  ->  U  e.  Mnd )

Proof of Theorem imasmndf1
Dummy variables  a 
b  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasmndf1.u . . . 4  |-  U  =  ( F  "s  R )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( F : V -1-1-> B  /\  R  e.  Mnd )  ->  U  =  ( F  "s  R ) )
3 imasmndf1.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  R
)
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( F : V -1-1-> B  /\  R  e.  Mnd )  ->  V  =  (
Base `  R )
)
5 eqid 2389 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
6 f1f1orn 5627 . . . . 5  |-  ( F : V -1-1-> B  ->  F : V -1-1-onto-> ran  F )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F : V -1-1-> B  /\  R  e.  Mnd )  ->  F : V -1-1-onto-> ran  F )
8 f1ofo 5623 . . . 4  |-  ( F : V -1-1-onto-> ran  F  ->  F : V -onto-> ran  F )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( F : V -1-1-> B  /\  R  e.  Mnd )  ->  F : V -onto-> ran  F )
107f1ocpbl 13679 . . 3  |-  ( ( ( F : V -1-1-> B  /\  R  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( F `  ( p ( +g  `  R ) q ) ) ) )
11 simpr 448 . . 3  |-  ( ( F : V -1-1-> B  /\  R  e.  Mnd )  ->  R  e.  Mnd )
12 eqid 2389 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
132, 4, 5, 9, 10, 11, 12imasmnd 14662 . 2  |-  ( ( F : V -1-1-> B  /\  R  e.  Mnd )  ->  ( U  e. 
Mnd  /\  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  U ) ) )
1413simpld 446 1  |-  ( ( F : V -1-1-> B  /\  R  e.  Mnd )  ->  U  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ran crn 4821   -1-1->wf1 5393   -onto->wfo 5394   -1-1-onto->wf1o 5395   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   0gc0g 13652    "s cimas 13659   Mndcmnd 14613
This theorem is referenced by:  xpsmnd  14664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-fz 10978  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-0g 13656  df-imas 13663  df-mnd 14619
  Copyright terms: Public domain W3C validator