MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasmulfn Unicode version

Theorem imasmulfn 13680
Description: The image structure's ring multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasaddf.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasaddf.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .x.  b )
)  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
imasaddf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasaddf.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasaddf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasmulf.p  |-  .x.  =  ( .r `  R )
imasmulf.a  |-  .xb  =  ( .r `  U )
Assertion
Ref Expression
imasmulfn  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( B  X.  B ) )
Distinct variable groups:    q, p, B    R, p, q    a,
b, p, q, V    .x. , p, q    F, a, b, p, q    ph, a,
b, p, q    .xb , a,
b, p, q
Allowed substitution hints:    B( a, b)    R( a, b)    .x. ( a, b)    U( q, p, a, b)    Z( q, p, a, b)

Proof of Theorem imasmulfn
StepHypRef Expression
1 imasaddf.f . 2  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
2 imasaddf.e . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .x.  b )
)  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
3 imasaddf.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
4 imasaddf.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
5 imasaddf.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
6 imasmulf.p . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
7 imasmulf.a . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  U )
83, 4, 1, 5, 6, 7imasmulr 13665 . 2  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } )
91, 2, 8imasaddfnlem 13674 1  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    X. cxp 4810    Fn wfn 5383   -onto->wfo 5386   ` cfv 5388  (class class class)co 6014   Basecbs 13390   .rcmulr 13451    "s cimas 13651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-oadd 6658  df-er 6835  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-sup 7375  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-7 9989  df-8 9990  df-9 9991  df-10 9992  df-n0 10148  df-z 10209  df-dec 10309  df-uz 10415  df-fz 10970  df-struct 13392  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-plusg 13463  df-mulr 13464  df-sca 13466  df-vsca 13467  df-tset 13469  df-ple 13470  df-ds 13472  df-imas 13655
  Copyright terms: Public domain W3C validator