Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasmulr Structured version   Unicode version

Theorem imasmulr 13749
 Description: The ring multiplication in an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u s
imasbas.v
imasbas.f
imasbas.r
imasmulr.p
imasmulr.t
Assertion
Ref Expression
imasmulr
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem imasmulr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 s
2 imasbas.v . . 3
3 eqid 2438 . . 3
4 imasmulr.p . . 3
5 eqid 2438 . . 3 Scalar Scalar
6 eqid 2438 . . 3 Scalar Scalar
7 eqid 2438 . . 3
8 eqid 2438 . . 3
9 eqid 2438 . . 3
10 eqid 2438 . . 3
11 imasbas.f . . . 4
12 imasbas.r . . . 4
13 eqid 2438 . . . 4
141, 2, 11, 12, 3, 13imasplusg 13748 . . 3
15 eqidd 2439 . . 3
16 eqidd 2439 . . 3 Scalar Scalar
17 eqidd 2439 . . 3 qTop qTop
18 eqid 2438 . . . 4
191, 2, 11, 12, 9, 18imasds 13744 . . 3 g
20 eqidd 2439 . . 3
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 11, 12imasval 13742 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
22 eqid 2438 . . 3 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
2322imasvalstr 13680 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop Struct ;
24 mulrid 13580 . 2 Slot
25 snsstp3 3953 . . . 4
26 ssun1 3512 . . . 4 Scalar Scalar Scalar
2725, 26sstri 3359 . . 3 Scalar Scalar Scalar
28 ssun1 3512 . . 3 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
2927, 28sstri 3359 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
30 fvex 5745 . . . 4
312, 30syl6eqel 2526 . . 3
32 snex 4408 . . . . . 6
3332rgenw 2775 . . . . 5
34 iunexg 5990 . . . . 5
3531, 33, 34sylancl 645 . . . 4
3635ralrimivw 2792 . . 3
37 iunexg 5990 . . 3
3831, 36, 37syl2anc 644 . 2
39 imasmulr.t . 2
4021, 23, 24, 29, 38, 39strfv3 13507 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   cun 3320  csn 3816  cpr 3817  ctp 3818  cop 3819  ciun 4095  ccnv 4880   ccom 4885  wfo 5455  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  c1 8996  c2 10054  ;cdc 10387  cnx 13471  cbs 13474   cplusg 13534  cmulr 13535  Scalarcsca 13537  cvsca 13538  TopSetcts 13540  cple 13541  cds 13543  ctopn 13654   qTop cqtop 13734   s cimas 13735 This theorem is referenced by:  imassca  13750  imasvsca  13751  imastset  13752  imasle  13753  imasmulfn  13764  imasmulval  13765  imasmulf  13766  divsmulval  13785  divsmulf  13786 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-imas 13739
 Copyright terms: Public domain W3C validator