Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasplusg Unicode version

Theorem imasplusg 13420
 Description: The group operation in an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u s
imasbas.v
imasbas.f
imasbas.r
imasplusg.p
imasplusg.a
Assertion
Ref Expression
imasplusg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem imasplusg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasplusg.a . . 3
2 imasbas.u . . . . 5 s
3 imasbas.v . . . . 5
4 imasplusg.p . . . . 5
5 eqid 2283 . . . . 5
6 eqid 2283 . . . . 5 Scalar Scalar
7 eqid 2283 . . . . 5 Scalar Scalar
8 eqid 2283 . . . . 5
9 eqid 2283 . . . . 5
10 eqid 2283 . . . . 5
11 eqid 2283 . . . . 5
12 eqidd 2284 . . . . 5
13 eqidd 2284 . . . . 5
14 eqidd 2284 . . . . 5 Scalar Scalar
15 eqidd 2284 . . . . 5 qTop qTop
16 imasbas.f . . . . . 6
17 imasbas.r . . . . . 6
18 eqid 2283 . . . . . 6
192, 3, 16, 17, 10, 18imasds 13416 . . . . 5 g
20 eqidd 2284 . . . . 5
212, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20, 16, 17imasval 13414 . . . 4 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
2221fveq2d 5529 . . 3 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
231, 22syl5eq 2327 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
24 fvex 5539 . . . . 5
253, 24syl6eqel 2371 . . . 4
26 snex 4216 . . . . . . 7
2726rgenw 2610 . . . . . 6
28 iunexg 5767 . . . . . 6
2925, 27, 28sylancl 643 . . . . 5
3029ralrimivw 2627 . . . 4
31 iunexg 5767 . . . 4
3225, 30, 31syl2anc 642 . . 3
33 eqid 2283 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
3433imasvalstr 13352 . . . 4 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop Struct ;
35 plusgid 13243 . . . 4 Slot
36 snsstp2 3767 . . . . . 6
37 ssun1 3338 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
3836, 37sstri 3188 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
39 ssun1 3338 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
4038, 39sstri 3188 . . . 4 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
4134, 35, 40strfv 13180 . . 3 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
4232, 41syl 15 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
4323, 42eqtr4d 2318 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788   cun 3150  csn 3640  cpr 3641  ctp 3642  cop 3643  ciun 3905  ccnv 4688   ccom 4693  wfo 5253  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  c1 8738  c2 9795  ;cdc 10124  cnx 13145  cbs 13148   cplusg 13208  cmulr 13209  Scalarcsca 13211  cvsca 13212  TopSetcts 13214  cple 13215  cds 13217  ctopn 13326   qTop cqtop 13406   s cimas 13407 This theorem is referenced by:  imasmulr  13421  imassca  13422  imasvsca  13423  imastset  13424  imasle  13425  imasaddfn  13433  imasaddval  13434  imasaddf  13435  divsaddval  13455  divsaddf  13456 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-imas 13411
 Copyright terms: Public domain W3C validator