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Theorem imasrng 15418
Description: The image structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasrng.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasrng.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasrng.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
imasrng.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
imasrng.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
imasrng.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasrng.e1  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
imasrng.e2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .x.  b )
)  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
imasrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
imasrng  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Ring  /\  ( F `  .1.  )  =  ( 1r `  U ) ) )
Distinct variable groups:    q, p,  .+    a, b, p, q, ph    U, a, b, p, q    .1. , p, q    B, p, q    F, a, b, p, q    R, p, q    V, a, b, p, q    .x. , p, q
Allowed substitution hints:    B( a, b)    .+ ( a, b)    R( a, b)    .x. ( a, b)    .1. ( a, b)

Proof of Theorem imasrng
Dummy variables  u  v  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasrng.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasrng.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasrng.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasrng.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
51, 2, 3, 4imasbas 13431 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
6 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
)  =  ( +g  `  U ) )
7 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .r `  U
)  =  ( .r
`  U ) )
8 imasrng.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
98a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
10 imasrng.e1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
11 rnggrp 15362 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
124, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
13 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
141, 2, 9, 3, 10, 12, 13imasgrp 14627 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Grp  /\  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  U ) ) )
1514simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Grp )
16 imasrng.e2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .x.  b )
)  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
17 imasrng.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
18 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( .r
`  U )  =  ( .r `  U
)
194adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  ->  R  e.  Ring )
20 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  ->  u  e.  V )
212adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  ->  V  =  ( Base `  R ) )
2220, 21eleqtrd 2372 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  ->  u  e.  ( Base `  R ) )
23 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
v  e.  V )
2423, 21eleqtrd 2372 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
v  e.  ( Base `  R ) )
25 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2625, 17rngcl 15370 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  u  e.  ( Base `  R
)  /\  v  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( u  .x.  v )  e.  (
Base `  R )
)
2719, 22, 24, 26syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
( u  .x.  v
)  e.  ( Base `  R ) )
2827, 21eleqtrrd 2373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
( u  .x.  v
)  e.  V )
2928caovclg 6028 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .x.  q
)  e.  V )
303, 16, 1, 2, 4, 17, 18, 29imasmulf 13454 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( .r `  U
) : ( B  X.  B ) --> B )
31 fovrn 6006 . . . 4  |-  ( ( ( .r `  U
) : ( B  X.  B ) --> B  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( .r `  U
) v )  e.  B )
3230, 31syl3an1 1215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( .r `  U
) v )  e.  B )
33 forn 5470 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
343, 33syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
3534eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <-> 
u  e.  B ) )
3634eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ran  F  <-> 
v  e.  B ) )
3734eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  F  <-> 
w  e.  B ) )
3835, 36, 373anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
39 fofn 5469 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
403, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
41 fvelrnb 5586 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
42 fvelrnb 5586 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
v  e.  ran  F  <->  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v ) )
43 fvelrnb 5586 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
w  e.  ran  F  <->  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
4441, 42, 433anbi123d 1252 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  (
( u  e.  ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
4540, 44syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
4638, 45bitr3d 246 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
47 3reeanv 2721 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  (
( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
4846, 47syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `  x )  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w ) ) )
494adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  R  e.  Ring )
50 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  x  e.  V )
5123ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  V  =  ( Base `  R )
)
5250, 51eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
53523adant3r3 1162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  x  e.  ( Base `  R ) )
54 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  y  e.  V )
5554, 51eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  y  e.  ( Base `  R )
)
56553adant3r3 1162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
y  e.  ( Base `  R ) )
57 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
582adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  V  =  ( Base `  R ) )
5957, 58eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  ( Base `  R ) )
6025, 17rngass 15373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( x  .x.  y
)  .x.  z )  =  ( x  .x.  ( y  .x.  z
) ) )
6149, 53, 56, 59, 60syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  .x.  y )  .x.  z
)  =  ( x 
.x.  ( y  .x.  z ) ) )
6261fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .x.  y
)  .x.  z )
)  =  ( F `
 ( x  .x.  ( y  .x.  z
) ) ) )
63 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  ph )
6428caovclg 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  V )
65643adantr3 1116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  V )
663, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .x.  y )  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  ( x  .x.  y ) ) ( .r `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.x.  z ) ) )
6763, 65, 57, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .x.  y ) ) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .x.  z
) ) )
68 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
6928caovclg 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .x.  z
)  e.  V )
70693adantr1 1114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .x.  z
)  e.  V )
713, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( y  .x.  z )  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( .r `  U
) ( F `  ( y  .x.  z
) ) )  =  ( F `  (
x  .x.  ( y  .x.  z ) ) ) )
7263, 68, 70, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  ( y 
.x.  z ) ) )  =  ( F `
 ( x  .x.  ( y  .x.  z
) ) ) )
7362, 67, 723eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .x.  y ) ) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  (
y  .x.  z )
) ) )
743, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( .r `  U
) ( F `  y ) )  =  ( F `  (
x  .x.  y )
) )
75743adant3r3 1162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  y ) )  =  ( F `
 ( x  .x.  y ) ) )
7675oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  y
) ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  ( x 
.x.  y ) ) ( .r `  U
) ( F `  z ) ) )
773, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  y )
( .r `  U
) ( F `  z ) )  =  ( F `  (
y  .x.  z )
) )
78773adant3r1 1160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( F `
 ( y  .x.  z ) ) )
7978oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( ( F `  y
) ( .r `  U ) ( F `
 z ) ) )  =  ( ( F `  x ) ( .r `  U
) ( F `  ( y  .x.  z
) ) ) )
8073, 76, 793eqtr4d 2338 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  y
) ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) ( .r `  U
) ( ( F `
 y ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) ) )
81 simp1 955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  x )  =  u )
82 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  y )  =  v )
8381, 82oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( u ( .r `  U ) v ) )
84 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  z )  =  w )
8583, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  y ) ) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( .r `  U ) w ) )
8682, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  y
) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( v ( .r `  U ) w ) )
8781, 86oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( ( F `  y ) ( .r `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) )
8885, 87eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  y
) ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) ( .r `  U
) ( ( F `
 y ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) )  <->  ( (
u ( .r `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( u ( .r
`  U ) ( v ( .r `  U ) w ) ) ) )
8980, 88syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( .r
`  U ) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) ) )
90893exp2 1169 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  V  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( .r
`  U ) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) ) ) ) ) )
9190imp32 422 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( .r
`  U ) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) ) ) )
9291rexlimdv 2679 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( .r
`  U ) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) ) )
9392rexlimdvva 2687 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( .r
`  U ) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) ) )
9448, 93sylbid 206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( .r
`  U ) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) ) )
9594imp 418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  U ) v ) ( .r
`  U ) w )  =  ( u ( .r `  U
) ( v ( .r `  U ) w ) ) )
9625, 8, 17rngdi 15375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
) )
9749, 53, 56, 59, 96syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) ) )
9897fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
x  .x.  ( y  .+  z ) ) )  =  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
) ) )
9925, 8rngacl 15384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  u  e.  ( Base `  R
)  /\  v  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( u  .+  v )  e.  (
Base `  R )
)
10019, 22, 24, 99syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
( u  .+  v
)  e.  ( Base `  R ) )
101100, 21eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
( u  .+  v
)  e.  V )
102101caovclg 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
1031023adantr1 1114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
1043, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( y  .+  z )  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( .r `  U
) ( F `  ( y  .+  z
) ) )  =  ( F `  (
x  .x.  ( y  .+  z ) ) ) )
10563, 68, 103, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  ( y 
.+  z ) ) )  =  ( F `
 ( x  .x.  ( y  .+  z
) ) ) )
10628caovclg 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .x.  z
)  e.  V )
1071063adantr2 1115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .x.  z
)  e.  V )
108 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
1093, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 13450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .x.  y )  e.  V  /\  ( x  .x.  z
)  e.  V )  ->  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  (
x  .x.  z )
) )  =  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) ) ) )
11063, 65, 107, 109syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .x.  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  ( x  .x.  z ) ) )  =  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) ) ) )
11198, 105, 1103eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  ( y 
.+  z ) ) )  =  ( ( F `  ( x 
.x.  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  ( x  .x.  z ) ) ) )
1123, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 13450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  y )
( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( y 
.+  z ) ) )
1131123adant3r1 1160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( y  .+  z
) ) )
114113oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( ( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) ) )
1153, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( .r `  U
) ( F `  z ) )  =  ( F `  (
x  .x.  z )
) )
1161153adant3r2 1161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( F `
 ( x  .x.  z ) ) )
11775, 116oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( ( F `  x ) ( .r `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  (
x  .x.  z )
) ) )
118111, 114, 1173eqtr4d 2338 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( ( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( ( F `  x ) ( .r `  U
) ( F `  y ) ) ( +g  `  U ) ( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) ) ) )
11982, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( v ( +g  `  U ) w ) )
12081, 119oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U ) w ) ) )
12181, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( u ( .r `  U ) w ) )
12283, 121oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  y ) ) ( +g  `  U
) ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) )  =  ( ( u ( .r `  U ) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r `  U
) w ) ) )
123120, 122eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( ( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( ( F `  x ) ( .r `  U
) ( F `  y ) ) ( +g  `  U ) ( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) ) )  <->  ( u
( .r `  U
) ( v ( +g  `  U ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U ) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r `  U
) w ) ) ) )
124118, 123syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) ) )
1251243exp2 1169 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  V  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) ) ) ) ) )
126125imp32 422 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) ) ) )
127126rexlimdv 2679 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) ) )
128127rexlimdvva 2687 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) ) )
12948, 128sylbid 206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) ) )
130129imp 418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) )
13125, 8, 17rngdir 15376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .x.  z )  =  ( ( x 
.x.  z )  .+  ( y  .x.  z
) ) )
13249, 53, 56, 59, 131syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )
133132fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .x.  z )
)  =  ( F `
 ( ( x 
.x.  z )  .+  ( y  .x.  z
) ) ) )
134101caovclg 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
1351343adantr3 1116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
1363, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .+  y )  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( .r `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( ( x  .+  y ) 
.x.  z ) ) )
13763, 135, 57, 136syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( ( x  .+  y )  .x.  z
) ) )
1383, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 13450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .x.  z )  e.  V  /\  ( y  .x.  z
)  e.  V )  ->  ( ( F `
 ( x  .x.  z ) ) ( +g  `  U ) ( F `  (
y  .x.  z )
) )  =  ( F `  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) )
13963, 107, 70, 138syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .x.  z ) ) ( +g  `  U
) ( F `  ( y  .x.  z
) ) )  =  ( F `  (
( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
140133, 137, 1393eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 ( x  .x.  z ) ) ( +g  `  U ) ( F `  (
y  .x.  z )
) ) )
1413, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 13450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  y
) )  =  ( F `  ( x 
.+  y ) ) )
1421413adant3r3 1162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( F `  ( x  .+  y ) ) )
143142oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  ( x 
.+  y ) ) ( .r `  U
) ( F `  z ) ) )
144116, 78oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( .r `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( F `
 ( x  .x.  z ) ) ( +g  `  U ) ( F `  (
y  .x.  z )
) ) )
145140, 143, 1443eqtr4d 2338 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( ( ( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 z ) ) ( +g  `  U
) ( ( F `
 y ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) ) )
14681, 82oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  y ) )  =  ( u ( +g  `  U ) v ) )
147146, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) ) ( .r `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( u ( +g  `  U ) v ) ( .r
`  U ) w ) )
148121, 86oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) ) ( +g  `  U
) ( ( F `
 y ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) )
149147, 148eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( ( ( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 z ) ) ( +g  `  U
) ( ( F `
 y ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) )  <->  ( (
u ( +g  `  U
) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( ( u ( .r
`  U ) w ) ( +g  `  U
) ( v ( .r `  U ) w ) ) ) )
150145, 149syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) ) )
1511503exp2 1169 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  V  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) ) ) ) ) )
152151imp32 422 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) ) ) )
153152rexlimdv 2679 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) ) )
154153rexlimdvva 2687 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) ) )
15548, 154sylbid 206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) ) )
156155imp 418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  U ) v ) ( .r
`  U ) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U
) ( v ( .r `  U ) w ) ) )
157 fof 5467 . . . . 5  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
1583, 157syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
159 imasrng.o . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
16025, 159rngidcl 15377 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
1614, 160syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .1.  e.  ( Base `  R ) )
162161, 2eleqtrrd 2373 . . . 4  |-  ( ph  ->  .1.  e.  V )
163 ffvelrn 5679 . . . 4  |-  ( ( F : V --> B  /\  .1.  e.  V )  -> 
( F `  .1.  )  e.  B )
164158, 162, 163syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  e.  B )
16540, 41syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
16635, 165bitr3d 246 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
167 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ph )
168162adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  .1.  e.  V )
169 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
1703, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  .1.  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( F `  .1.  ) ( .r `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  (  .1. 
.x.  x ) ) )
171167, 168, 169, 170syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .1.  ) ( .r `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  (  .1.  .x.  x )
) )
1724adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  Ring )
1732eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  <->  x  e.  ( Base `  R
) ) )
174173biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
17525, 17, 159rnglidm 15380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .1.  .x.  x )  =  x )
176172, 174, 175syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (  .1.  .x.  x )  =  x )
177176fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .1.  .x.  x ) )  =  ( F `  x
) )
178171, 177eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .1.  ) ( .r `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
179 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  .1.  ) ( .r `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 .1.  ) ( .r `  U ) u ) )
180 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  ( F `  x )  =  u )
181179, 180eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  .1.  ) ( .r `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  x )  <->  ( ( F `  .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u ) )
182178, 181syl5ibcom 211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( ( F `  .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u ) )
183182rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( ( F `
 .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u ) )
184166, 183sylbid 206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( ( F `  .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u ) )
185184imp 418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
( F `  .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u )
1863, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  .1.  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( .r `  U
) ( F `  .1.  ) )  =  ( F `  ( x 
.x.  .1.  ) )
)
187168, 186mpd3an3 1278 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 .1.  ) )  =  ( F `  ( x  .x.  .1.  )
) )
18825, 17, 159rngridm 15381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  .x.  .1.  )  =  x )
189172, 174, 188syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
x  .x.  .1.  )  =  x )
190189fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( x  .x.  .1.  ) )  =  ( F `  x
) )
191187, 190eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 .1.  ) )  =  ( F `  x ) )
192 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 .1.  ) )  =  ( u ( .r `  U ) ( F `  .1.  ) ) )
193192, 180eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  .1.  )
)  =  ( F `
 x )  <->  ( u
( .r `  U
) ( F `  .1.  ) )  =  u ) )
194191, 193syl5ibcom 211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( u ( .r
`  U ) ( F `  .1.  )
)  =  u ) )
195194rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( u ( .r `  U ) ( F `  .1.  ) )  =  u ) )
196166, 195sylbid 206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( u ( .r
`  U ) ( F `  .1.  )
)  =  u ) )
197196imp 418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
u ( .r `  U ) ( F `
 .1.  ) )  =  u )
1985, 6, 7, 15, 32, 95, 130, 156, 164, 185, 197isrngd 15391 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  Ring )
199164, 5eleqtrd 2372 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  e.  ( Base `  U ) )
2005eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  <->  u  e.  ( Base `  U
) ) )
201184, 196jcad 519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( ( ( F `
 .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  U ) ( F `  .1.  ) )  =  u ) ) )
202200, 201sylbird 226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  (
Base `  U )  ->  ( ( ( F `
 .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  U ) ( F `  .1.  ) )  =  u ) ) )
203202ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. u  e.  (
Base `  U )
( ( ( F `
 .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  U ) ( F `  .1.  ) )  =  u ) )
204 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
205 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  U )  =  ( 1r `  U
)
206204, 18, 205isrngid 15382 . . . . 5  |-  ( U  e.  Ring  ->  ( ( ( F `  .1.  )  e.  ( Base `  U )  /\  A. u  e.  ( Base `  U ) ( ( ( F `  .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u  /\  (
u ( .r `  U ) ( F `
 .1.  ) )  =  u ) )  <-> 
( 1r `  U
)  =  ( F `
 .1.  ) ) )
207198, 206syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 .1.  )  e.  ( Base `  U
)  /\  A. u  e.  ( Base `  U
) ( ( ( F `  .1.  )
( .r `  U
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  U
) ( F `  .1.  ) )  =  u ) )  <->  ( 1r `  U )  =  ( F `  .1.  )
) )
208199, 203, 207mpbi2and 887 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  U
)  =  ( F `
 .1.  ) )
209208eqcomd 2301 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  =  ( 1r `  U ) )
210198, 209jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Ring  /\  ( F `  .1.  )  =  ( 1r `  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    X. cxp 4703   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416    "s cimas 13423   Grpcgrp 14378   Ringcrg 15353   1rcur 15355
This theorem is referenced by:  divsrng2  15419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358
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