MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastopn Unicode version

Theorem imastopn 17467
Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imastps.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imastps.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imastopn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
imastopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
imastopn.o  |-  O  =  ( TopOpen `  U )
Assertion
Ref Expression
imastopn  |-  ( ph  ->  O  =  ( J qTop 
F ) )

Proof of Theorem imastopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imastps.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imastps.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imastopn.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
5 imastopn.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
6 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  (TopSet `  U )  =  (TopSet `  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6imastset 13473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  =  ( J qTop  F
) )
8 fvex 5577 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen `  R )  e.  _V
95, 8eqeltri 2386 . . . . . . 7  |-  J  e. 
_V
10 fofn 5491 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
113, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
12 fvex 5577 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
132, 12syl6eqel 2404 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
14 fnex 5782 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  V  /\  V  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
1511, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
16 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1716qtopval 17442 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( J qTop  F )  =  { x  e. 
~P ( F " U. J )  |  ( ( `' F "
x )  i^i  U. J )  e.  J } )
189, 15, 17sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  =  { x  e. 
~P ( F " U. J )  |  ( ( `' F "
x )  i^i  U. J )  e.  J } )
197, 18eqtrd 2348 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  =  { x  e.  ~P ( F " U. J
)  |  ( ( `' F " x )  i^i  U. J )  e.  J } )
20 ssrab2 3292 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P ( F " U. J )  |  ( ( `' F "
x )  i^i  U. J )  e.  J }  C_  ~P ( F
" U. J )
21 imassrn 5062 . . . . . . . 8  |-  ( F
" U. J ) 
C_  ran  F
22 forn 5492 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
233, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
241, 2, 3, 4imasbas 13464 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
2523, 24eqtrd 2348 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  (
Base `  U )
)
2621, 25syl5sseq 3260 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " U. J )  C_  ( Base `  U ) )
27 sspwb 4260 . . . . . . 7  |-  ( ( F " U. J
)  C_  ( Base `  U )  <->  ~P ( F " U. J ) 
C_  ~P ( Base `  U
) )
2826, 27sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P ( F " U. J )  C_  ~P ( Base `  U )
)
2920, 28syl5ss 3224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( F " U. J
)  |  ( ( `' F " x )  i^i  U. J )  e.  J }  C_  ~P ( Base `  U
) )
3019, 29eqsstrd 3246 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  C_ 
~P ( Base `  U
) )
31 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3231, 6topnid 13389 . . . 4  |-  ( (TopSet `  U )  C_  ~P ( Base `  U )  ->  (TopSet `  U )  =  ( TopOpen `  U
) )
3330, 32syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  =  ( TopOpen `  U
) )
34 imastopn.o . . 3  |-  O  =  ( TopOpen `  U )
3533, 34syl6eqr 2366 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  =  O )
3635, 7eqtr3d 2350 1  |-  ( ph  ->  O  =  ( J qTop 
F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701   {crab 2581   _Vcvv 2822    i^i cin 3185    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864   `'ccnv 4725   ran crn 4727   "cima 4729    Fn wfn 5287   -onto->wfo 5290   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195  TopSetcts 13261   TopOpenctopn 13375   qTop cqtop 13455    "s cimas 13456
This theorem is referenced by:  imastps  17468  xpstopnlem2  17558  divstgpopn  17854  divstgplem  17855  divstgphaus  17857  imasf1oxms  18087
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-rest 13376  df-topn 13377  df-qtop 13459  df-imas 13460
  Copyright terms: Public domain W3C validator