MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastopn Unicode version

Theorem imastopn 17411
Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imastps.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imastps.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imastopn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
imastopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
imastopn.o  |-  O  =  ( TopOpen `  U )
Assertion
Ref Expression
imastopn  |-  ( ph  ->  O  =  ( J qTop 
F ) )

Proof of Theorem imastopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imastps.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imastps.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imastopn.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
5 imastopn.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
6 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  (TopSet `  U )  =  (TopSet `  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6imastset 13424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  =  ( J qTop  F
) )
8 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen `  R )  e.  _V
95, 8eqeltri 2353 . . . . . . 7  |-  J  e. 
_V
10 fofn 5453 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
113, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
12 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
132, 12syl6eqel 2371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
14 fnex 5741 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  V  /\  V  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
1511, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
16 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1716qtopval 17386 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( J qTop  F )  =  { x  e. 
~P ( F " U. J )  |  ( ( `' F "
x )  i^i  U. J )  e.  J } )
189, 15, 17sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  =  { x  e. 
~P ( F " U. J )  |  ( ( `' F "
x )  i^i  U. J )  e.  J } )
197, 18eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  =  { x  e.  ~P ( F " U. J
)  |  ( ( `' F " x )  i^i  U. J )  e.  J } )
20 ssrab2 3258 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P ( F " U. J )  |  ( ( `' F "
x )  i^i  U. J )  e.  J }  C_  ~P ( F
" U. J )
21 imassrn 5025 . . . . . . . 8  |-  ( F
" U. J ) 
C_  ran  F
22 forn 5454 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
233, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
241, 2, 3, 4imasbas 13415 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
2523, 24eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  (
Base `  U )
)
2621, 25syl5sseq 3226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " U. J )  C_  ( Base `  U ) )
27 sspwb 4223 . . . . . . 7  |-  ( ( F " U. J
)  C_  ( Base `  U )  <->  ~P ( F " U. J ) 
C_  ~P ( Base `  U
) )
2826, 27sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P ( F " U. J )  C_  ~P ( Base `  U )
)
2920, 28syl5ss 3190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( F " U. J
)  |  ( ( `' F " x )  i^i  U. J )  e.  J }  C_  ~P ( Base `  U
) )
3019, 29eqsstrd 3212 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  C_ 
~P ( Base `  U
) )
31 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3231, 6topnid 13340 . . . 4  |-  ( (TopSet `  U )  C_  ~P ( Base `  U )  ->  (TopSet `  U )  =  ( TopOpen `  U
) )
3330, 32syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  =  ( TopOpen `  U
) )
34 imastopn.o . . 3  |-  O  =  ( TopOpen `  U )
3533, 34syl6eqr 2333 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  =  O )
3635, 7eqtr3d 2317 1  |-  ( ph  ->  O  =  ( J qTop 
F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  TopSetcts 13214   TopOpenctopn 13326   qTop cqtop 13406    "s cimas 13407
This theorem is referenced by:  imastps  17412  xpstopnlem2  17502  divstgpopn  17802  divstgplem  17803  divstgphaus  17805  imasf1oxms  18035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-qtop 13410  df-imas 13411
  Copyright terms: Public domain W3C validator