MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastps Structured version   Unicode version

Theorem imastps 17755
Description: The image of a topological space under a function is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imastps.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imastps.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imastps.r  |-  ( ph  ->  R  e.  TopSp )
Assertion
Ref Expression
imastps  |-  ( ph  ->  U  e.  TopSp )

Proof of Theorem imastps
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imastps.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imastps.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imastps.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  TopSp )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  R )
6 eqid 2438 . . . 4  |-  ( TopOpen `  U )  =  (
TopOpen `  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6imastopn 17754 . . 3  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  U )  =  ( ( TopOpen `  R ) qTop  F )
)
8 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 5istps 17003 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
104, 9sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
112fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (TopOn `  V )  =  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
1210, 11eleqtrrd 2515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  V )
)
13 qtoptopon 17738 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  V )  /\  F : V -onto-> B
)  ->  ( ( TopOpen
`  R ) qTop  F
)  e.  (TopOn `  B ) )
1412, 3, 13syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  R
) qTop  F )  e.  (TopOn `  B ) )
151, 2, 3, 4imasbas 13740 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
1615fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopOn `  B )  =  (TopOn `  ( Base `  U ) ) )
1714, 16eleqtrd 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  R
) qTop  F )  e.  (TopOn `  ( Base `  U
) ) )
187, 17eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  U )  e.  (TopOn `  ( Base `  U ) ) )
19 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
2019, 6istps 17003 . 2  |-  ( U  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  U )  e.  (TopOn `  ( Base `  U ) ) )
2118, 20sylibr 205 1  |-  ( ph  ->  U  e.  TopSp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   -onto->wfo 5454   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   TopOpenctopn 13651   qTop cqtop 13731    "s cimas 13732  TopOnctopon 16961   TopSpctps 16963
This theorem is referenced by:  divstps  17756  xpstps  17844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-rest 13652  df-topn 13653  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-top 16965  df-topon 16968  df-topsp 16969
  Copyright terms: Public domain W3C validator