Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvsca Unicode version

Theorem imasvsca 13522
 Description: The scalar multiplication operation of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u s
imasbas.v
imasbas.f
imasbas.r
imassca.g Scalar
imasvsca.k
imasvsca.q
imasvsca.s
Assertion
Ref Expression
imasvsca
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)   (,)   (,,)   ()   ()   (,,)

Proof of Theorem imasvsca
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvsca.s . . 3
2 imasbas.u . . . . 5 s
3 imasbas.v . . . . 5
4 eqid 2358 . . . . 5
5 eqid 2358 . . . . 5
6 imassca.g . . . . 5 Scalar
7 imasvsca.k . . . . 5
8 imasvsca.q . . . . 5
9 eqid 2358 . . . . 5
10 eqid 2358 . . . . 5
11 eqid 2358 . . . . 5
12 imasbas.f . . . . . 6
13 imasbas.r . . . . . 6
14 eqid 2358 . . . . . 6
152, 3, 12, 13, 4, 14imasplusg 13519 . . . . 5
16 eqid 2358 . . . . . 6
172, 3, 12, 13, 5, 16imasmulr 13520 . . . . 5
18 eqidd 2359 . . . . 5
19 eqidd 2359 . . . . 5 qTop qTop
20 eqid 2358 . . . . . 6
212, 3, 12, 13, 10, 20imasds 13515 . . . . 5 g
22 eqidd 2359 . . . . 5
232, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 12, 13imasval 13513 . . . 4 Scalar TopSet qTop
2423fveq2d 5612 . . 3 Scalar TopSet qTop
251, 24syl5eq 2402 . 2 Scalar TopSet qTop
26 fvex 5622 . . . . 5
273, 26syl6eqel 2446 . . . 4
28 fvex 5622 . . . . . . 7
297, 28eqeltri 2428 . . . . . 6
30 snex 4297 . . . . . 6
3129, 30mpt2ex 6285 . . . . 5
3231rgenw 2686 . . . 4
33 iunexg 5853 . . . 4
3427, 32, 33sylancl 643 . . 3
35 eqid 2358 . . . . 5 Scalar TopSet qTop Scalar TopSet qTop
3635imasvalstr 13451 . . . 4 Scalar TopSet qTop Struct ;
37 vscaid 13368 . . . 4 Slot
38 snsspr2 3844 . . . . . 6 Scalar
39 ssun2 3415 . . . . . 6 Scalar Scalar
4038, 39sstri 3264 . . . . 5 Scalar
41 ssun1 3414 . . . . 5 Scalar Scalar TopSet qTop
4240, 41sstri 3264 . . . 4 Scalar TopSet qTop
4336, 37, 42strfv 13277 . . 3 Scalar TopSet qTop
4434, 43syl 15 . 2 Scalar TopSet qTop
4525, 44eqtr4d 2393 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1642   wcel 1710  wral 2619  cvv 2864   cun 3226  csn 3716  cpr 3717  ctp 3718  cop 3719  ciun 3986  ccnv 4770   ccom 4775  wfo 5335  cfv 5337  (class class class)co 5945   cmpt2 5947  c1 8828  c2 9885  ;cdc 10216  cnx 13242  cbs 13245   cplusg 13305  cmulr 13306  Scalarcsca 13308  cvsca 13309  TopSetcts 13311  cple 13312  cds 13314  ctopn 13425   qTop cqtop 13505   s cimas 13506 This theorem is referenced by:  imastset  13523  imasle  13524  imasvscafn  13538  imasvscaval  13539  imasvscaf  13540 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-imas 13510
 Copyright terms: Public domain W3C validator