MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaf Structured version   Unicode version

Theorem imasvscaf 13756
Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasvscaf.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasvscaf.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasvscaf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasvscaf.g  |-  G  =  (Scalar `  R )
imasvscaf.k  |-  K  =  ( Base `  G
)
imasvscaf.q  |-  .x.  =  ( .s `  R )
imasvscaf.s  |-  .xb  =  ( .s `  U )
imasvscaf.e  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
imasvscaf.c  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .x.  q
)  e.  V )
Assertion
Ref Expression
imasvscaf  |-  ( ph  -> 
.xb  : ( K  X.  B ) --> B )
Distinct variable groups:    p, a,
q, F    K, a, p, q    ph, a, p, q    B, p, q    R, p, q    .x. , p, q    .xb , a, p, q    V, a, p, q
Allowed substitution hints:    B( a)    R( a)    .x. ( a)    U( q, p, a)    G( q, p, a)    Z( q, p, a)

Proof of Theorem imasvscaf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasvscaf.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasvscaf.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasvscaf.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 imasvscaf.g . . 3  |-  G  =  (Scalar `  R )
6 imasvscaf.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  G
)
7 imasvscaf.q . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  R )
8 imasvscaf.s . . 3  |-  .xb  =  ( .s `  U )
9 imasvscaf.e . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 13754 . 2  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( K  X.  B ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 13738 . . 3  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
12 imasvscaf.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .x.  q
)  e.  V )
13 fof 5645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
143, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
1514ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  .x.  q )  e.  V
)  ->  ( F `  ( p  .x.  q
) )  e.  B
)
1612, 15syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  -> 
( F `  (
p  .x.  q )
)  e.  B )
1716ralrimivw 2782 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  A. x  e.  { ( F `  q ) }  ( F `  ( p  .x.  q ) )  e.  B )
1817anass1rs 783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  V )  /\  p  e.  K )  ->  A. x  e.  { ( F `  q ) }  ( F `  ( p  .x.  q ) )  e.  B )
1918ralrimiva 2781 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  A. p  e.  K  A. x  e.  { ( F `  q ) }  ( F `  ( p  .x.  q ) )  e.  B )
20 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  =  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
2120fmpt2 6410 . . . . . . . 8  |-  ( A. p  e.  K  A. x  e.  { ( F `  q ) }  ( F `  ( p  .x.  q ) )  e.  B  <->  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `
 q ) } ) --> B )
2219, 21sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `  q ) } ) --> B )
23 fssxp 5594 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `  q ) } ) --> B  -> 
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  {
( F `  q
) } )  X.  B ) )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  {
( F `  q
) } )  X.  B ) )
2514ffvelrnda 5862 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  ( F `  q )  e.  B )
2625snssd 3935 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  { ( F `  q ) }  C_  B )
27 xpss2 4977 . . . . . . 7  |-  ( { ( F `  q
) }  C_  B  ->  ( K  X.  {
( F `  q
) } )  C_  ( K  X.  B
) )
28 xpss1 4976 . . . . . . 7  |-  ( ( K  X.  { ( F `  q ) } )  C_  ( K  X.  B )  -> 
( ( K  X.  { ( F `  q ) } )  X.  B )  C_  ( ( K  X.  B )  X.  B
) )
2926, 27, 283syl 19 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
( K  X.  {
( F `  q
) } )  X.  B )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B ) )
3024, 29sstrd 3350 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B ) )
3130ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B ) )
32 iunss 4124 . . . 4  |-  ( U_ q  e.  V  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B )  <->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B ) )
3331, 32sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B ) )
3411, 33eqsstrd 3374 . 2  |-  ( ph  -> 
.xb  C_  ( ( K  X.  B )  X.  B ) )
35 dff2 5873 . 2  |-  (  .xb  : ( K  X.  B
) --> B  <->  (  .xb  Fn  ( K  X.  B
)  /\  .xb  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B ) ) )
3610, 34, 35sylanbrc 646 1  |-  ( ph  -> 
.xb  : ( K  X.  B ) --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   {csn 3806   U_ciun 4085    X. cxp 4868    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -onto->wfo 5444   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   Basecbs 13461  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525    "s cimas 13722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-imas 13726
  Copyright terms: Public domain W3C validator