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Theorem imasvscafn 13767
 Description: The image structure's scalar multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u s
imasvscaf.v
imasvscaf.f
imasvscaf.r
imasvscaf.g Scalar
imasvscaf.k
imasvscaf.q
imasvscaf.s
imasvscaf.e
Assertion
Ref Expression
imasvscafn
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem imasvscafn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . . . 8
2 fvex 5745 . . . . . . . 8
31, 2fnmpt2i 6423 . . . . . . 7
4 fnrel 5546 . . . . . . 7
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6
65rgenw 2775 . . . . 5
7 reliun 4998 . . . . 5
86, 7mpbir 202 . . . 4
9 imasvscaf.u . . . . . 6 s
10 imasvscaf.v . . . . . 6
11 imasvscaf.f . . . . . 6
12 imasvscaf.r . . . . . 6
13 imasvscaf.g . . . . . 6 Scalar
14 imasvscaf.k . . . . . 6
15 imasvscaf.q . . . . . 6
16 imasvscaf.s . . . . . 6
179, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16imasvsca 13751 . . . . 5
1817releqd 4964 . . . 4
198, 18mpbiri 226 . . 3
20 dffn2 5595 . . . . . . . . . . . . 13
213, 20mpbi 201 . . . . . . . . . . . 12
22 fssxp 5605 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
24 fof 5656 . . . . . . . . . . . . . . 15
2511, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
2625ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . 13
2726snssd 3945 . . . . . . . . . . . 12
28 xpss2 4988 . . . . . . . . . . . 12
29 xpss1 4987 . . . . . . . . . . . 12
3027, 28, 293syl 19 . . . . . . . . . . 11
3123, 30syl5ss 3361 . . . . . . . . . 10
3231ralrimiva 2791 . . . . . . . . 9
33 iunss 4134 . . . . . . . . 9
3432, 33sylibr 205 . . . . . . . 8
3517, 34eqsstrd 3384 . . . . . . 7
36 dmss 5072 . . . . . . 7
3735, 36syl 16 . . . . . 6
38 vn0 3637 . . . . . . 7
39 dmxp 5091 . . . . . . 7
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6
4137, 40syl6sseq 3396 . . . . 5
42 forn 5659 . . . . . . 7
4311, 42syl 16 . . . . . 6
4443xpeq2d 4905 . . . . 5
4541, 44sseqtr4d 3387 . . . 4
46 df-br 4216 . . . . . . . . . 10
4717eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . 12
4847adantr 453 . . . . . . . . . . 11
49 eliun 4099 . . . . . . . . . . . 12
50 df-3an 939 . . . . . . . . . . . . . . 15
511mpt2fun 6175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
52 funopfv 5769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
54 df-ov 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
55 opex 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
56 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5755, 56opeldm 5076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
581, 2dmmpt2 6424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5957, 58syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
60 opelxp 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6159, 60sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6362fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
64 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6563equcoms 1694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6665eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
67 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6866, 67cbvmpt2v 6155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6963, 64, 68, 2ovmpt2 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7061, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7154, 70syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7253, 71eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7461simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77 imasvscaf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7877imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7976, 78sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8073, 79eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8180ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15
8250, 81sylan2br 464 . . . . . . . . . . . . . 14
8382anassrs 631 . . . . . . . . . . . . 13
8483rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . 12
8549, 84syl5bi 210 . . . . . . . . . . 11
8648, 85sylbid 208 . . . . . . . . . 10
8746, 86syl5bi 210 . . . . . . . . 9
8887alrimiv 1642 . . . . . . . 8
89 mo2icl 3115 . . . . . . . 8
9088, 89syl 16 . . . . . . 7
9190ralrimivva 2800 . . . . . 6
92 fofn 5658 . . . . . . . 8
93 opeq2 3987 . . . . . . . . . . 11
9493breq1d 4225 . . . . . . . . . 10
9594mobidv 2318 . . . . . . . . 9
9695ralrn 5876 . . . . . . . 8
9711, 92, 963syl 19 . . . . . . 7
9897ralbidv 2727 . . . . . 6
9991, 98mpbird 225 . . . . 5
100 breq1 4218 . . . . . . 7
101100mobidv 2318 . . . . . 6
102101ralxp 5019 . . . . 5
10399, 102sylibr 205 . . . 4
104 ssralv 3409 . . . 4
10545, 103, 104sylc 59 . . 3
106 dffun7 5482 . . 3
10719, 105, 106sylanbrc 647 . 2
108 eqimss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . 15
10917, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
110 iunss 4134 . . . . . . . . . . . . . 14
111109, 110sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13
112111r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . 12
113112adantrl 698 . . . . . . . . . . 11
114 dmss 5072 . . . . . . . . . . 11
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . 10
11658, 115syl5eqssr 3395 . . . . . . . . 9
117 simprl 734 . . . . . . . . . 10
118 fvex 5745 . . . . . . . . . . 11
119118snid 3843 . . . . . . . . . 10
120 opelxpi 4913 . . . . . . . . . 10
121117, 119, 120sylancl 645 . . . . . . . . 9
122116, 121sseldd 3351 . . . . . . . 8
123122ralrimivva 2800 . . . . . . 7
124 opeq2 3987 . . . . . . . . . . 11
125124eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10
126125ralrn 5876 . . . . . . . . 9
12711, 92, 1263syl 19 . . . . . . . 8
128127ralbidv 2727 . . . . . . 7
129123, 128mpbird 225 . . . . . 6
130 eleq1 2498 . . . . . . 7
131130ralxp 5019 . . . . . 6
132129, 131sylibr 205 . . . . 5
133 dfss3 3340 . . . . 5
134132, 133sylibr 205 . . . 4
13544, 134eqsstr3d 3385 . . 3
13641, 135eqssd 3367 . 2
137 df-fn 5460 . 2
138107, 136, 137sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wal 1550   wceq 1653   wcel 1726  wmo 2284   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322  c0 3630  csn 3816  cop 3819  ciun 4095   class class class wbr 4215   cxp 4879   cdm 4881   crn 4882   wrel 4886   wfun 5451   wfn 5452  wf 5453  wfo 5455  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  cbs 13474  Scalarcsca 13537  cvsca 13538   s cimas 13735 This theorem is referenced by:  imasvscaval  13768  imasvscaf  13769 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-imas 13739
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