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Theorem imasvscafn 13538
Description: The image structure's scalar multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasvscaf.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasvscaf.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasvscaf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasvscaf.g  |-  G  =  (Scalar `  R )
imasvscaf.k  |-  K  =  ( Base `  G
)
imasvscaf.q  |-  .x.  =  ( .s `  R )
imasvscaf.s  |-  .xb  =  ( .s `  U )
imasvscaf.e  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
imasvscafn  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( K  X.  B ) )
Distinct variable groups:    p, a,
q, F    K, a, p, q    ph, a, p, q    B, p, q    R, p, q    .x. , p, q    .xb , a, p, q    V, a, p, q
Allowed substitution hints:    B( a)    R( a)    .x. ( a)    U( q, p, a)    G( q, p, a)    Z( q, p, a)

Proof of Theorem imasvscafn
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  =  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
2 fvex 5622 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( p  .x.  q ) )  e. 
_V
31, 2fnmpt2i 6280 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  Fn  ( K  X.  { ( F `
 q ) } )
4 fnrel 5424 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  Fn  ( K  X.  { ( F `
 q ) } )  ->  Rel  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Rel  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
65rgenw 2686 . . . . 5  |-  A. q  e.  V  Rel  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
7 reliun 4888 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  <->  A. q  e.  V  Rel  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
86, 7mpbir 200 . . . 4  |-  Rel  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
9 imasvscaf.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
10 imasvscaf.v . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
11 imasvscaf.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
12 imasvscaf.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
13 imasvscaf.g . . . . . 6  |-  G  =  (Scalar `  R )
14 imasvscaf.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  G
)
15 imasvscaf.q . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  R )
16 imasvscaf.s . . . . . 6  |-  .xb  =  ( .s `  U )
179, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16imasvsca 13522 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
1817releqd 4855 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Rel  .xb  <->  Rel  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) ) )
198, 18mpbiri 224 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  .xb  )
20 dffn2 5473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  Fn  ( K  X.  { ( F `
 q ) } )  <->  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `
 q ) } ) --> _V )
213, 20mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `
 q ) } ) --> _V
22 fssxp 5483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `  q ) } ) --> _V  ->  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  {
( F `  q
) } )  X. 
_V ) )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  C_  ( ( K  X.  { ( F `
 q ) } )  X.  _V )
24 fof 5534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
2511, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
26 ffvelrn 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : V --> B  /\  q  e.  V )  ->  ( F `  q
)  e.  B )
2725, 26sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  ( F `  q )  e.  B )
2827snssd 3839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  { ( F `  q ) }  C_  B )
29 xpss2 4878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { ( F `  q
) }  C_  B  ->  ( K  X.  {
( F `  q
) } )  C_  ( K  X.  B
) )
30 xpss1 4877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  X.  { ( F `  q ) } )  C_  ( K  X.  B )  -> 
( ( K  X.  { ( F `  q ) } )  X.  _V )  C_  ( ( K  X.  B )  X.  _V ) )
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
( K  X.  {
( F `  q
) } )  X. 
_V )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
3223, 31syl5ss 3266 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
3332ralrimiva 2702 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
34 iunss 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ q  e.  V  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )  <->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
3533, 34sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
3617, 35eqsstrd 3288 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
.xb  C_  ( ( K  X.  B )  X. 
_V ) )
37 dmss 4960 . . . . . . 7  |-  (  .xb  C_  ( ( K  X.  B )  X.  _V )  ->  dom  .xb  C_  dom  ( ( K  X.  B )  X.  _V ) )
3836, 37syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  dom  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
39 vn0 3538 . . . . . . 7  |-  _V  =/=  (/)
40 dmxp 4979 . . . . . . 7  |-  ( _V  =/=  (/)  ->  dom  ( ( K  X.  B )  X.  _V )  =  ( K  X.  B
) )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  (
( K  X.  B
)  X.  _V )  =  ( K  X.  B )
4238, 41syl6sseq 3300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  ( K  X.  B ) )
43 forn 5537 . . . . . . 7  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
4411, 43syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
4544xpeq2d 4795 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  X.  ran  F )  =  ( K  X.  B ) )
4642, 45sseqtr4d 3291 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  ( K  X.  ran  F ) )
47 df-br 4105 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
p ,  ( F `
 a ) >.  .xb  w  <->  <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
.xb  )
4817eleq2d 2425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
.xb 
<-> 
<. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) ) )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
.xb 
<-> 
<. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) ) )
50 eliun 3990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  <->  E. q  e.  V  <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) )
51 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )  <->  ( ( p  e.  K  /\  a  e.  V
)  /\  q  e.  V ) )
521mpt2fun 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Fun  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
53 funopfv 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  ( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) `  <. p ,  ( F `  a ) >. )  =  w ) )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) `  <. p ,  ( F `  a ) >. )  =  w )
55 df-ov 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) ( F `
 a ) )  =  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) `  <. p ,  ( F `  a ) >. )
56 opex 4319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  <. p ,  ( F `  a ) >.  e.  _V
57 vex 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  w  e. 
_V
5856, 57opeldm 4964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  <. p ,  ( F `  a ) >.  e.  dom  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) )
591, 2dmmpt2 6281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  dom  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  =  ( K  X.  { ( F `  q ) } )
6058, 59syl6eleq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  <. p ,  ( F `  a ) >.  e.  ( K  X.  { ( F `  q ) } ) )
61 opelxp 4801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <.
p ,  ( F `
 a ) >.  e.  ( K  X.  {
( F `  q
) } )  <->  ( p  e.  K  /\  ( F `  a )  e.  { ( F `  q ) } ) )
6260, 61sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
p  e.  K  /\  ( F `  a )  e.  { ( F `
 q ) } ) )
63 oveq1 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  p  ->  (
z  .x.  q )  =  ( p  .x.  q ) )
6463fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  p  ->  ( F `  ( z  .x.  q ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
65 eqidd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( F `  ( p  .x.  q ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
6664eqcoms 2361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  z  ->  ( F `  ( z  .x.  q ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
6766eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  z  ->  ( F `  ( p  .x.  q ) )  =  ( F `  (
z  .x.  q )
) )
68 eqidd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  ( z  .x.  q ) )  =  ( F `  (
z  .x.  q )
) )
6967, 68cbvmpt2v 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  =  ( z  e.  K ,  y  e.  { ( F `
 q ) } 
|->  ( F `  (
z  .x.  q )
) )
7064, 65, 69, 2ovmpt2 6070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  K  /\  ( F `  a )  e.  { ( F `
 q ) } )  ->  ( p
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) ( F `
 a ) )  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
7162, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
p ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) ( F `  a ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
7255, 71syl5eqr 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) `  <. p ,  ( F `  a ) >. )  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
7354, 72eqtr3d 2392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
7473adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )
)  /\  <. <. p ,  ( F `  a ) >. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
7562simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  ( F `  a )  e.  { ( F `  q ) } )
76 elsni 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  a )  e.  { ( F `
 q ) }  ->  ( F `  a )  =  ( F `  q ) )
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  q ) )
78 imasvscaf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
7978imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )
)  /\  ( F `  a )  =  ( F `  q ) )  ->  ( F `  ( p  .x.  a
) )  =  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
8077, 79sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )
)  /\  <. <. p ,  ( F `  a ) >. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
8174, 80eqtr4d 2393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )
)  /\  <. <. p ,  ( F `  a ) >. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) )
8281ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8351, 82sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
p  e.  K  /\  a  e.  V )  /\  q  e.  V
) )  ->  ( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8483anassrs 629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V )
)  /\  q  e.  V )  ->  ( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8584rexlimdva 2743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( E. q  e.  V  <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8650, 85syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8749, 86sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
.xb  ->  w  =  ( F `  ( p 
.x.  a ) ) ) )
8847, 87syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8988alrimiv 1631 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  ->  A. w ( <. p ,  ( F `  a ) >.  .xb  w  ->  w  =  ( F `
 ( p  .x.  a ) ) ) )
90 mo2icl 3020 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( <. p ,  ( F `  a ) >.  .xb  w  ->  w  =  ( F `
 ( p  .x.  a ) ) )  ->  E* w <. p ,  ( F `  a ) >.  .xb  w
)
9189, 90syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  ->  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w )
9291ralrimivva 2711 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  K  A. a  e.  V  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w )
93 fofn 5536 . . . . . . . 8  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
94 opeq2 3878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  <. p ,  y >.  =  <. p ,  ( F `  a ) >. )
9594breq1d 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( <. p ,  y >.  .xb  w  <->  <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w ) )
9695mobidv 2244 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( E* w <. p ,  y
>.  .xb  w  <->  E* w <. p ,  ( F `
 a ) >.  .xb  w ) )
9796ralrn 5751 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F E* w <. p ,  y >.  .xb  w  <->  A. a  e.  V  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w ) )
9811, 93, 973syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F E* w <. p ,  y >.  .xb  w  <->  A. a  e.  V  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w ) )
9998ralbidv 2639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  K  A. y  e. 
ran  F E* w <. p ,  y >.  .xb  w  <->  A. p  e.  K  A. a  e.  V  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w ) )
10092, 99mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. p  e.  K  A. y  e.  ran  F E* w <. p ,  y >.  .xb  w
)
101 breq1 4107 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. p ,  y
>.  ->  ( x  .xb  w 
<-> 
<. p ,  y >.  .xb  w ) )
102101mobidv 2244 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. p ,  y
>.  ->  ( E* w  x  .xb  w  <->  E* w <. p ,  y >.  .xb  w ) )
103102ralxp 4909 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( K  X.  ran  F ) E* w  x  .xb  w  <->  A. p  e.  K  A. y  e.  ran  F E* w <. p ,  y
>.  .xb  w )
104100, 103sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K  X.  ran  F
) E* w  x 
.xb  w )
105 ssralv 3313 . . . 4  |-  ( dom  .xb  C_  ( K  X.  ran  F )  ->  ( A. x  e.  ( K  X.  ran  F ) E* w  x  .xb  w  ->  A. x  e.  dom  .xb 
E* w  x  .xb  w ) )
10646, 104, 105sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  dom  .xb 
E* w  x  .xb  w )
107 dffun7 5362 . . 3  |-  ( Fun  .xb 
<->  ( Rel  .xb  /\  A. x  e.  dom  .xb  E* w  x  .xb  w ) )
10819, 106, 107sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  .xb  )
109 eqimss2 3307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  .xb  =  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  C_  .xb  )
11017, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  )
111 iunss 4024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ q  e.  V  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  <->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  C_  .xb  )
112110, 111sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  )
113112r19.21bi 2717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  )
114113adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  )
115 dmss 4960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  ->  dom  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  dom  .xb  )
116114, 115syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  dom  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  dom  .xb  )
11759, 116syl5eqssr 3299 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  -> 
( K  X.  {
( F `  q
) } )  C_  dom  .xb  )
118 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  p  e.  K )
119 fvex 5622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 q )  e. 
_V
120119snid 3743 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 q )  e. 
{ ( F `  q ) }
121 opelxpi 4803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  K  /\  ( F `  q )  e.  { ( F `
 q ) } )  ->  <. p ,  ( F `  q
) >.  e.  ( K  X.  { ( F `
 q ) } ) )
122118, 120, 121sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  <. p ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( K  X.  {
( F `  q
) } ) )
123117, 122sseldd 3257 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  <. p ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
124123ralrimivva 2711 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. p  e.  K  A. q  e.  V  <. p ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
125 opeq2 3878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  q )  ->  <. p ,  y >.  =  <. p ,  ( F `  q ) >. )
126125eleq1d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  q )  ->  ( <. p ,  y >.  e.  dom  .xb  <->  <. p ,  ( F `  q )
>.  e.  dom  .xb  )
)
127126ralrn 5751 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F
<. p ,  y >.  e.  dom  .xb  <->  A. q  e.  V  <. p ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
12811, 93, 1273syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F <. p ,  y >.  e.  dom  .xb  <->  A. q  e.  V  <. p ,  ( F `  q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
129128ralbidv 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  K  A. y  e. 
ran  F <. p ,  y >.  e.  dom  .xb  <->  A. p  e.  K  A. q  e.  V  <. p ,  ( F `  q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
130124, 129mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  K  A. y  e.  ran  F
<. p ,  y >.  e.  dom  .xb  )
131 eleq1 2418 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. p ,  y
>.  ->  ( x  e. 
dom  .xb  <->  <. p ,  y
>.  e.  dom  .xb  )
)
132131ralxp 4909 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( K  X.  ran  F ) x  e.  dom  .xb  <->  A. p  e.  K  A. y  e.  ran  F <. p ,  y >.  e.  dom  .xb  )
133130, 132sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K  X.  ran  F
) x  e.  dom  .xb  )
134 dfss3 3246 . . . . 5  |-  ( ( K  X.  ran  F
)  C_  dom  .xb  <->  A. x  e.  ( K  X.  ran  F ) x  e.  dom  .xb  )
135133, 134sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  X.  ran  F )  C_  dom  .xb  )
13645, 135eqsstr3d 3289 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  X.  B
)  C_  dom  .xb  )
13742, 136eqssd 3272 . 2  |-  ( ph  ->  dom  .xb  =  ( K  X.  B ) )
138 df-fn 5340 . 2  |-  (  .xb  Fn  ( K  X.  B
)  <->  ( Fun  .xb  /\  dom  .xb  =  ( K  X.  B ) ) )
139108, 137, 138sylanbrc 645 1  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( K  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1540    = wceq 1642    e. wcel 1710   E*wmo 2210    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   (/)c0 3531   {csn 3716   <.cop 3719   U_ciun 3986   class class class wbr 4104    X. cxp 4769   dom cdm 4771   ran crn 4772   Rel wrel 4776   Fun wfun 5331    Fn wfn 5332   -->wf 5333   -onto->wfo 5335   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    e. cmpt2 5947   Basecbs 13245  Scalarcsca 13308   .scvsca 13309    "s cimas 13506
This theorem is referenced by:  imasvscaval  13539  imasvscaf  13540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-imas 13510
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