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Theorem imasvscafn 13439
Description: The image structure's scalar multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasvscaf.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasvscaf.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasvscaf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasvscaf.g  |-  G  =  (Scalar `  R )
imasvscaf.k  |-  K  =  ( Base `  G
)
imasvscaf.q  |-  .x.  =  ( .s `  R )
imasvscaf.s  |-  .xb  =  ( .s `  U )
imasvscaf.e  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
imasvscafn  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( K  X.  B ) )
Distinct variable groups:    p, a,
q, F    K, a, p, q    ph, a, p, q    B, p, q    R, p, q    .x. , p, q    .xb , a, p, q    V, a, p, q
Allowed substitution hints:    B( a)    R( a)    .x. ( a)    U( q, p, a)    G( q, p, a)    Z( q, p, a)

Proof of Theorem imasvscafn
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  =  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
2 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( p  .x.  q ) )  e. 
_V
31, 2fnmpt2i 6193 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  Fn  ( K  X.  { ( F `
 q ) } )
4 fnrel 5342 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  Fn  ( K  X.  { ( F `
 q ) } )  ->  Rel  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Rel  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
65rgenw 2610 . . . . 5  |-  A. q  e.  V  Rel  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
7 reliun 4806 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  <->  A. q  e.  V  Rel  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
86, 7mpbir 200 . . . 4  |-  Rel  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
9 imasvscaf.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
10 imasvscaf.v . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
11 imasvscaf.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
12 imasvscaf.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
13 imasvscaf.g . . . . . 6  |-  G  =  (Scalar `  R )
14 imasvscaf.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  G
)
15 imasvscaf.q . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  R )
16 imasvscaf.s . . . . . 6  |-  .xb  =  ( .s `  U )
179, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16imasvsca 13423 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
1817releqd 4773 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Rel  .xb  <->  Rel  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) ) )
198, 18mpbiri 224 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  .xb  )
20 dffn2 5390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  Fn  ( K  X.  { ( F `
 q ) } )  <->  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `
 q ) } ) --> _V )
213, 20mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `
 q ) } ) --> _V
22 fssxp 5400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `  q ) } ) --> _V  ->  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  {
( F `  q
) } )  X. 
_V ) )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  C_  ( ( K  X.  { ( F `
 q ) } )  X.  _V )
24 fof 5451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
2511, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
26 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : V --> B  /\  q  e.  V )  ->  ( F `  q
)  e.  B )
2725, 26sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  ( F `  q )  e.  B )
2827snssd 3760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  { ( F `  q ) }  C_  B )
29 xpss2 4796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { ( F `  q
) }  C_  B  ->  ( K  X.  {
( F `  q
) } )  C_  ( K  X.  B
) )
30 xpss1 4795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  X.  { ( F `  q ) } )  C_  ( K  X.  B )  -> 
( ( K  X.  { ( F `  q ) } )  X.  _V )  C_  ( ( K  X.  B )  X.  _V ) )
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
( K  X.  {
( F `  q
) } )  X. 
_V )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
3223, 31syl5ss 3190 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
3332ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
34 iunss 3943 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ q  e.  V  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )  <->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
3533, 34sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
3617, 35eqsstrd 3212 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
.xb  C_  ( ( K  X.  B )  X. 
_V ) )
37 dmss 4878 . . . . . . 7  |-  (  .xb  C_  ( ( K  X.  B )  X.  _V )  ->  dom  .xb  C_  dom  ( ( K  X.  B )  X.  _V ) )
3836, 37syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  dom  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
39 vn0 3462 . . . . . . 7  |-  _V  =/=  (/)
40 dmxp 4897 . . . . . . 7  |-  ( _V  =/=  (/)  ->  dom  ( ( K  X.  B )  X.  _V )  =  ( K  X.  B
) )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  (
( K  X.  B
)  X.  _V )  =  ( K  X.  B )
4238, 41syl6sseq 3224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  ( K  X.  B ) )
43 forn 5454 . . . . . . 7  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
4411, 43syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
4544xpeq2d 4713 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  X.  ran  F )  =  ( K  X.  B ) )
4642, 45sseqtr4d 3215 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  ( K  X.  ran  F ) )
47 df-br 4024 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
p ,  ( F `
 a ) >.  .xb  w  <->  <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
.xb  )
4817eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
.xb 
<-> 
<. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) ) )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
.xb 
<-> 
<. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) ) )
50 eliun 3909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  <->  E. q  e.  V  <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) )
51 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )  <->  ( ( p  e.  K  /\  a  e.  V
)  /\  q  e.  V ) )
521mpt2fun 5946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Fun  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
53 funopfv 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  ( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) `  <. p ,  ( F `  a ) >. )  =  w ) )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) `  <. p ,  ( F `  a ) >. )  =  w )
55 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) ( F `
 a ) )  =  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) `  <. p ,  ( F `  a ) >. )
56 opex 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  <. p ,  ( F `  a ) >.  e.  _V
57 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  w  e. 
_V
5856, 57opeldm 4882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  <. p ,  ( F `  a ) >.  e.  dom  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) )
591, 2dmmpt2 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  dom  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  =  ( K  X.  { ( F `  q ) } )
6058, 59syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  <. p ,  ( F `  a ) >.  e.  ( K  X.  { ( F `  q ) } ) )
61 opelxp 4719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <.
p ,  ( F `
 a ) >.  e.  ( K  X.  {
( F `  q
) } )  <->  ( p  e.  K  /\  ( F `  a )  e.  { ( F `  q ) } ) )
6260, 61sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
p  e.  K  /\  ( F `  a )  e.  { ( F `
 q ) } ) )
63 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  p  ->  (
z  .x.  q )  =  ( p  .x.  q ) )
6463fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  p  ->  ( F `  ( z  .x.  q ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
65 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( F `  ( p  .x.  q ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
6664eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  z  ->  ( F `  ( z  .x.  q ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
6766eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  z  ->  ( F `  ( p  .x.  q ) )  =  ( F `  (
z  .x.  q )
) )
68 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  ( z  .x.  q ) )  =  ( F `  (
z  .x.  q )
) )
6967, 68cbvmpt2v 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  =  ( z  e.  K ,  y  e.  { ( F `
 q ) } 
|->  ( F `  (
z  .x.  q )
) )
7064, 65, 69, 2ovmpt2 5983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  K  /\  ( F `  a )  e.  { ( F `
 q ) } )  ->  ( p
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) ( F `
 a ) )  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
7162, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
p ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) ( F `  a ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
7255, 71syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) `  <. p ,  ( F `  a ) >. )  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
7354, 72eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
7473adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )
)  /\  <. <. p ,  ( F `  a ) >. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
7562simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  ( F `  a )  e.  { ( F `  q ) } )
76 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  a )  e.  { ( F `
 q ) }  ->  ( F `  a )  =  ( F `  q ) )
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  q ) )
78 imasvscaf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
7978imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )
)  /\  ( F `  a )  =  ( F `  q ) )  ->  ( F `  ( p  .x.  a
) )  =  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
8077, 79sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )
)  /\  <. <. p ,  ( F `  a ) >. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
8174, 80eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )
)  /\  <. <. p ,  ( F `  a ) >. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) )
8281ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8351, 82sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
p  e.  K  /\  a  e.  V )  /\  q  e.  V
) )  ->  ( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8483anassrs 629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V )
)  /\  q  e.  V )  ->  ( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8584rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( E. q  e.  V  <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8650, 85syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8749, 86sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
.xb  ->  w  =  ( F `  ( p 
.x.  a ) ) ) )
8847, 87syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8988alrimiv 1617 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  ->  A. w ( <. p ,  ( F `  a ) >.  .xb  w  ->  w  =  ( F `
 ( p  .x.  a ) ) ) )
90 mo2icl 2944 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( <. p ,  ( F `  a ) >.  .xb  w  ->  w  =  ( F `
 ( p  .x.  a ) ) )  ->  E* w <. p ,  ( F `  a ) >.  .xb  w
)
9189, 90syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  ->  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w )
9291ralrimivva 2635 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  K  A. a  e.  V  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w )
93 fofn 5453 . . . . . . . 8  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
94 opeq2 3797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  <. p ,  y >.  =  <. p ,  ( F `  a ) >. )
9594breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( <. p ,  y >.  .xb  w  <->  <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w ) )
9695mobidv 2178 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( E* w <. p ,  y
>.  .xb  w  <->  E* w <. p ,  ( F `
 a ) >.  .xb  w ) )
9796ralrn 5668 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F E* w <. p ,  y >.  .xb  w  <->  A. a  e.  V  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w ) )
9811, 93, 973syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F E* w <. p ,  y >.  .xb  w  <->  A. a  e.  V  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w ) )
9998ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  K  A. y  e. 
ran  F E* w <. p ,  y >.  .xb  w  <->  A. p  e.  K  A. a  e.  V  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w ) )
10092, 99mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. p  e.  K  A. y  e.  ran  F E* w <. p ,  y >.  .xb  w
)
101 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. p ,  y
>.  ->  ( x  .xb  w 
<-> 
<. p ,  y >.  .xb  w ) )
102101mobidv 2178 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. p ,  y
>.  ->  ( E* w  x  .xb  w  <->  E* w <. p ,  y >.  .xb  w ) )
103102ralxp 4827 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( K  X.  ran  F ) E* w  x  .xb  w  <->  A. p  e.  K  A. y  e.  ran  F E* w <. p ,  y
>.  .xb  w )
104100, 103sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K  X.  ran  F
) E* w  x 
.xb  w )
105 ssralv 3237 . . . 4  |-  ( dom  .xb  C_  ( K  X.  ran  F )  ->  ( A. x  e.  ( K  X.  ran  F ) E* w  x  .xb  w  ->  A. x  e.  dom  .xb 
E* w  x  .xb  w ) )
10646, 104, 105sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  dom  .xb 
E* w  x  .xb  w )
107 dffun7 5280 . . 3  |-  ( Fun  .xb 
<->  ( Rel  .xb  /\  A. x  e.  dom  .xb  E* w  x  .xb  w ) )
10819, 106, 107sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  .xb  )
109 eqimss2 3231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  .xb  =  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  C_  .xb  )
11017, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  )
111 iunss 3943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ q  e.  V  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  <->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  C_  .xb  )
112110, 111sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  )
113112r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  )
114113adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  )
115 dmss 4878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  ->  dom  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  dom  .xb  )
116114, 115syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  dom  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  dom  .xb  )
11759, 116syl5eqssr 3223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  -> 
( K  X.  {
( F `  q
) } )  C_  dom  .xb  )
118 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  p  e.  K )
119 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 q )  e. 
_V
120119snid 3667 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 q )  e. 
{ ( F `  q ) }
121 opelxpi 4721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  K  /\  ( F `  q )  e.  { ( F `
 q ) } )  ->  <. p ,  ( F `  q
) >.  e.  ( K  X.  { ( F `
 q ) } ) )
122118, 120, 121sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  <. p ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( K  X.  {
( F `  q
) } ) )
123117, 122sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  <. p ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
124123ralrimivva 2635 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. p  e.  K  A. q  e.  V  <. p ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
125 opeq2 3797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  q )  ->  <. p ,  y >.  =  <. p ,  ( F `  q ) >. )
126125eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  q )  ->  ( <. p ,  y >.  e.  dom  .xb  <->  <. p ,  ( F `  q )
>.  e.  dom  .xb  )
)
127126ralrn 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F
<. p ,  y >.  e.  dom  .xb  <->  A. q  e.  V  <. p ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
12811, 93, 1273syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F <. p ,  y >.  e.  dom  .xb  <->  A. q  e.  V  <. p ,  ( F `  q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
129128ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  K  A. y  e. 
ran  F <. p ,  y >.  e.  dom  .xb  <->  A. p  e.  K  A. q  e.  V  <. p ,  ( F `  q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
130124, 129mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  K  A. y  e.  ran  F
<. p ,  y >.  e.  dom  .xb  )
131 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. p ,  y
>.  ->  ( x  e. 
dom  .xb  <->  <. p ,  y
>.  e.  dom  .xb  )
)
132131ralxp 4827 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( K  X.  ran  F ) x  e.  dom  .xb  <->  A. p  e.  K  A. y  e.  ran  F <. p ,  y >.  e.  dom  .xb  )
133130, 132sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K  X.  ran  F
) x  e.  dom  .xb  )
134 dfss3 3170 . . . . 5  |-  ( ( K  X.  ran  F
)  C_  dom  .xb  <->  A. x  e.  ( K  X.  ran  F ) x  e.  dom  .xb  )
135133, 134sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  X.  ran  F )  C_  dom  .xb  )
13645, 135eqsstr3d 3213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  X.  B
)  C_  dom  .xb  )
13742, 136eqssd 3196 . 2  |-  ( ph  ->  dom  .xb  =  ( K  X.  B ) )
138 df-fn 5258 . 2  |-  (  .xb  Fn  ( K  X.  B
)  <->  ( Fun  .xb  /\  dom  .xb  =  ( K  X.  B ) ) )
139108, 137, 138sylanbrc 645 1  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( K  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   E*wmo 2144    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212    "s cimas 13407
This theorem is referenced by:  imasvscaval  13440  imasvscaf  13441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-imas 13411
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