MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaval Structured version   Unicode version

Theorem imasvscaval 13763
Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasvscaf.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasvscaf.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasvscaf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasvscaf.g  |-  G  =  (Scalar `  R )
imasvscaf.k  |-  K  =  ( Base `  G
)
imasvscaf.q  |-  .x.  =  ( .s `  R )
imasvscaf.s  |-  .xb  =  ( .s `  U )
imasvscaf.e  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
imasvscaval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  ( X  .xb  ( F `  Y
) )  =  ( F `  ( X 
.x.  Y ) ) )
Distinct variable groups:    p, a,
q, F    K, a, p, q    ph, a, p, q    B, p, q    R, p, q    .x. , p, q    .xb , a, p, q    V, a, p, q    X, p    Y, p, q
Allowed substitution hints:    B( a)    R( a)    .x. ( a)    U( q, p, a)    G( q, p, a)    X( q, a)    Y( a)    Z( q, p, a)

Proof of Theorem imasvscaval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasvscaf.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasvscaf.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasvscaf.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 imasvscaf.g . . . . . . 7  |-  G  =  (Scalar `  R )
6 imasvscaf.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  G
)
7 imasvscaf.q . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  R )
8 imasvscaf.s . . . . . . 7  |-  .xb  =  ( .s `  U )
9 imasvscaf.e . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 13762 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( K  X.  B ) )
11 fnfun 5542 . . . . . 6  |-  (  .xb  Fn  ( K  X.  B
)  ->  Fun  .xb  )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  .xb  )
13123ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  Fun  .xb  )
14 eqidd 2437 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Y  ->  K  =  K )
15 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Y  ->  ( F `  q )  =  ( F `  Y ) )
1615sneqd 3827 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Y  ->  { ( F `  q ) }  =  { ( F `  Y ) } )
17 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Y  ->  (
p  .x.  q )  =  ( p  .x.  Y ) )
1817fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Y  ->  ( F `  ( p  .x.  q ) )  =  ( F `  (
p  .x.  Y )
) )
1914, 16, 18mpt2eq123dv 6136 . . . . . . 7  |-  ( q  =  Y  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  =  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) )
2019ssiun2s 4135 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  V  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) )  C_  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
21203ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  Y ) ) )  C_  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 13746 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
23223ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  .xb  =  U_ q  e.  V  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) )
2421, 23sseqtr4d 3385 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  Y ) ) )  C_  .xb  )
25 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  X  e.  K )
26 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( F `
 Y )  e. 
_V
2726snid 3841 . . . . . 6  |-  ( F `
 Y )  e. 
{ ( F `  Y ) }
28 opelxpi 4910 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  K  /\  ( F `  Y )  e.  { ( F `
 Y ) } )  ->  <. X , 
( F `  Y
) >.  e.  ( K  X.  { ( F `
 Y ) } ) )
2925, 27, 28sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  <. X , 
( F `  Y
) >.  e.  ( K  X.  { ( F `
 Y ) } ) )
30 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  Y ) ) )  =  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  Y ) ) )
31 fvex 5742 . . . . . 6  |-  ( F `
 ( p  .x.  Y ) )  e. 
_V
3230, 31dmmpt2 6421 . . . . 5  |-  dom  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) )  =  ( K  X.  { ( F `  Y ) } )
3329, 32syl6eleqr 2527 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  <. X , 
( F `  Y
) >.  e.  dom  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) )
34 funssfv 5746 . . . 4  |-  ( ( Fun  .xb  /\  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) )  C_  .xb  /\  <. X ,  ( F `  Y ) >.  e.  dom  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) )  -> 
(  .xb  `  <. X , 
( F `  Y
) >. )  =  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) `  <. X ,  ( F `  Y ) >. )
)
3513, 24, 33, 34syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  (  .xb  ` 
<. X ,  ( F `
 Y ) >.
)  =  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) `  <. X ,  ( F `  Y ) >. )
)
36 df-ov 6084 . . 3  |-  ( X 
.xb  ( F `  Y ) )  =  (  .xb  `  <. X , 
( F `  Y
) >. )
37 df-ov 6084 . . 3  |-  ( X ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) ( F `
 Y ) )  =  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  Y ) ) ) `  <. X , 
( F `  Y
) >. )
3835, 36, 373eqtr4g 2493 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  ( X  .xb  ( F `  Y
) )  =  ( X ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  Y ) ) ) ( F `  Y ) ) )
39 oveq1 6088 . . . . 5  |-  ( p  =  X  ->  (
p  .x.  Y )  =  ( X  .x.  Y ) )
4039fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( p  =  X  ->  ( F `  ( p  .x.  Y ) )  =  ( F `  ( X  .x.  Y ) ) )
41 eqidd 2437 . . . 4  |-  ( x  =  ( F `  Y )  ->  ( F `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( F `  ( X  .x.  Y ) ) )
42 fvex 5742 . . . 4  |-  ( F `
 ( X  .x.  Y ) )  e. 
_V
4340, 41, 30, 42ovmpt2 6209 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  ( F `  Y )  e.  { ( F `
 Y ) } )  ->  ( X
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) ( F `
 Y ) )  =  ( F `  ( X  .x.  Y ) ) )
4425, 27, 43sylancl 644 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  ( X
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) ( F `
 Y ) )  =  ( F `  ( X  .x.  Y ) ) )
4538, 44eqtrd 2468 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  ( X  .xb  ( F `  Y
) )  =  ( F `  ( X 
.x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   {csn 3814   <.cop 3817   U_ciun 4093    X. cxp 4876   dom cdm 4878   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533    "s cimas 13730
This theorem is referenced by:  xpsvsca  13804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-imas 13734
  Copyright terms: Public domain W3C validator