MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcl Unicode version

Theorem imcl 11844
Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
imcl  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem imcl
StepHypRef Expression
1 imre 11841 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )
2 ax-icn 8983 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
32negcli 9301 . . . 4  |-  -u _i  e.  CC
4 mulcl 9008 . . . 4  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
53, 4mpan 652 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
6 recl 11843 . . 3  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( Re `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  RR )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  RR )
81, 7eqeltrd 2462 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   _ici 8926    x. cmul 8929   -ucneg 9225   Recre 11830   Imcim 11831
This theorem is referenced by:  imf  11846  remim  11850  mulre  11854  cjreb  11856  recj  11857  reneg  11858  readd  11859  remullem  11861  remul2  11863  imcj  11865  imneg  11866  imadd  11867  imsub  11868  immul2  11870  imdiv  11871  cjcj  11873  cjadd  11874  ipcnval  11876  cjmulval  11878  cjmulge0  11879  cjneg  11880  imval2  11884  cnrecnv  11898  imcli  11901  imcld  11928  absrele  12041  efeul  12691  absef  12726  absefib  12727  efieq1re  12728  cnsubrg  16683  mbfconst  19395  itgconst  19578  tanregt0  20309  ellogrn  20325  argimgt0  20375  argimlt0  20376  logneg2  20378  tanarg  20382  logf1o2  20409  logreclem  20528  asinlem3a  20578  asinlem3  20579  zetacvg  24579  sigarls  27516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-2 9991  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834
  Copyright terms: Public domain W3C validator