MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcl Structured version   Unicode version

Theorem imcl 11908
Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
imcl  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem imcl
StepHypRef Expression
1 imre 11905 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )
2 ax-icn 9041 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
32negcli 9360 . . . 4  |-  -u _i  e.  CC
4 mulcl 9066 . . . 4  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
53, 4mpan 652 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
6 recl 11907 . . 3  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( Re `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  RR )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  RR )
81, 7eqeltrd 2509 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   _ici 8984    x. cmul 8987   -ucneg 9284   Recre 11894   Imcim 11895
This theorem is referenced by:  imf  11910  remim  11914  mulre  11918  cjreb  11920  recj  11921  reneg  11922  readd  11923  remullem  11925  remul2  11927  imcj  11929  imneg  11930  imadd  11931  imsub  11932  immul2  11934  imdiv  11935  cjcj  11937  cjadd  11938  ipcnval  11940  cjmulval  11942  cjmulge0  11943  cjneg  11944  imval2  11948  cnrecnv  11962  imcli  11965  imcld  11992  absrele  12105  efeul  12755  absef  12790  absefib  12791  efieq1re  12792  cnsubrg  16751  mbfconst  19519  itgconst  19702  tanregt0  20433  ellogrn  20449  argimgt0  20499  argimlt0  20500  logneg2  20502  tanarg  20506  logf1o2  20533  logreclem  20652  asinlem3a  20702  asinlem3  20703  zetacvg  24791  sigarls  27814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898
  Copyright terms: Public domain W3C validator