MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcl Unicode version

Theorem imcl 11612
Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
imcl  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem imcl
StepHypRef Expression
1 imre 11609 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )
2 ax-icn 8812 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
32negcli 9130 . . . 4  |-  -u _i  e.  CC
4 mulcl 8837 . . . 4  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
53, 4mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
6 recl 11611 . . 3  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( Re `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  RR )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  RR )
81, 7eqeltrd 2370 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   _ici 8755    x. cmul 8758   -ucneg 9054   Recre 11598   Imcim 11599
This theorem is referenced by:  imf  11614  remim  11618  mulre  11622  cjreb  11624  recj  11625  reneg  11626  readd  11627  remullem  11629  remul2  11631  imcj  11633  imneg  11634  imadd  11635  imsub  11636  immul2  11638  imdiv  11639  cjcj  11641  cjadd  11642  ipcnval  11644  cjmulval  11646  cjmulge0  11647  cjneg  11648  imval2  11652  cnrecnv  11666  imcli  11669  imcld  11696  absrele  11809  efeul  12458  absef  12493  absefib  12494  efieq1re  12495  cnsubrg  16448  mbfconst  19006  itgconst  19189  tanregt0  19917  ellogrn  19933  argimgt0  19982  argimlt0  19983  logneg2  19985  tanarg  19986  logf1o2  20013  logreclem  20132  asinlem3a  20182  asinlem3  20183  zetacvg  23704  sigarls  27950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602
  Copyright terms: Public domain W3C validator