MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcld Unicode version

Theorem imcld 11696
Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
imcld  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem imcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 imcl 11612 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   ` cfv 5271   CCcc 8751   RRcr 8752   Imcim 11599
This theorem is referenced by:  rlimrecl  12070  resincl  12436  sin01bnd  12481  recld2  18336  mbfeqa  19014  mbfss  19017  mbfmulc2re  19019  mbfadd  19032  mbfmulc2  19034  mbflim  19039  mbfmul  19097  iblcn  19169  itgcnval  19170  itgre  19171  itgim  19172  iblneg  19173  itgneg  19174  ibladd  19191  itgadd  19195  iblabs  19199  itgmulc2  19204  aaliou2b  19737  efif1olem3  19922  eff1olem  19926  logimclad  19946  logrnaddcl  19947  lognegb  19959  logcj  19976  efiarg  19977  cosargd  19978  argregt0  19980  argrege0  19981  argimgt0  19982  argimlt0  19983  logimul  19984  tanarg  19986  logcnlem2  20006  logcnlem3  20007  logcnlem4  20008  logcnlem5  20009  logcn  20010  dvloglem  20011  logf1o2  20013  efopnlem1  20019  efopnlem2  20020  cxpsqrlem  20065  abscxpbnd  20109  ang180lem2  20124  lawcos  20130  isosctrlem1  20134  isosctrlem2  20135  asinneg  20198  asinsinlem  20203  atanlogaddlem  20225  atanlogsublem  20227  atanlogsub  20228  basellem3  20336  sqsscirc2  23308  ibladdnc  25008  itgaddnc  25011  iblabsnc  25015  iblmulc2nc  25016  itgmulc2nc  25019  bddiblnc  25021  cntotbnd  26623  sigarim  27944
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602
  Copyright terms: Public domain W3C validator