MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcld Structured version   Unicode version

Theorem imcld 11990
Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
imcld  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem imcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 imcl 11906 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5446   CCcc 8978   RRcr 8979   Imcim 11893
This theorem is referenced by:  rlimrecl  12364  resincl  12731  sin01bnd  12776  recld2  18835  mbfeqa  19525  mbfss  19528  mbfmulc2re  19530  mbfadd  19543  mbfmulc2  19545  mbflim  19550  mbfmul  19608  iblcn  19680  itgcnval  19681  itgre  19682  itgim  19683  iblneg  19684  itgneg  19685  ibladd  19702  itgadd  19706  iblabs  19710  itgmulc2  19715  aaliou2b  20248  efif1olem3  20436  eff1olem  20440  logimclad  20460  abslogimle  20461  logrnaddcl  20462  lognegb  20474  logcj  20491  efiarg  20492  cosargd  20493  argregt0  20495  argrege0  20496  argimgt0  20497  argimlt0  20498  logimul  20499  abslogle  20503  tanarg  20504  logcnlem2  20524  logcnlem3  20525  logcnlem4  20526  logcnlem5  20527  logcn  20528  dvloglem  20529  logf1o2  20531  efopnlem1  20537  efopnlem2  20538  cxpsqrlem  20583  abscxpbnd  20627  ang180lem2  20642  lawcos  20648  isosctrlem1  20652  isosctrlem2  20653  asinneg  20716  asinsinlem  20721  atanlogaddlem  20743  atanlogsublem  20745  atanlogsub  20746  basellem3  20855  sqsscirc2  24297  ibladdnc  26225  itgaddnc  26228  iblabsnc  26232  iblmulc2nc  26233  itgmulc2nc  26236  bddiblnc  26238  cntotbnd  26459  sigarim  27772  isosctrlem1ALT  28947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-2 10048  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896
  Copyright terms: Public domain W3C validator