MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcld Unicode version

Theorem imcld 11928
Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
imcld  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem imcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 imcl 11844 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   ` cfv 5395   CCcc 8922   RRcr 8923   Imcim 11831
This theorem is referenced by:  rlimrecl  12302  resincl  12669  sin01bnd  12714  recld2  18717  mbfeqa  19403  mbfss  19406  mbfmulc2re  19408  mbfadd  19421  mbfmulc2  19423  mbflim  19428  mbfmul  19486  iblcn  19558  itgcnval  19559  itgre  19560  itgim  19561  iblneg  19562  itgneg  19563  ibladd  19580  itgadd  19584  iblabs  19588  itgmulc2  19593  aaliou2b  20126  efif1olem3  20314  eff1olem  20318  logimclad  20338  abslogimle  20339  logrnaddcl  20340  lognegb  20352  logcj  20369  efiarg  20370  cosargd  20371  argregt0  20373  argrege0  20374  argimgt0  20375  argimlt0  20376  logimul  20377  abslogle  20381  tanarg  20382  logcnlem2  20402  logcnlem3  20403  logcnlem4  20404  logcnlem5  20405  logcn  20406  dvloglem  20407  logf1o2  20409  efopnlem1  20415  efopnlem2  20416  cxpsqrlem  20461  abscxpbnd  20505  ang180lem2  20520  lawcos  20526  isosctrlem1  20530  isosctrlem2  20531  asinneg  20594  asinsinlem  20599  atanlogaddlem  20621  atanlogsublem  20623  atanlogsub  20624  basellem3  20733  sqsscirc2  24112  ibladdnc  25963  itgaddnc  25966  iblabsnc  25970  iblmulc2nc  25971  itgmulc2nc  25974  bddiblnc  25976  cntotbnd  26197  sigarim  27510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-2 9991  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834
  Copyright terms: Public domain W3C validator