MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcn2 Unicode version

Theorem imcn2 12324
Description: The imaginary part function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
imcn2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( Im `  z
)  -  ( Im
`  A ) ) )  <  x ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z    y, A, z
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem imcn2
StepHypRef Expression
1 imf 11847 . . 3  |-  Im : CC
--> RR
2 ax-resscn 8982 . . 3  |-  RR  C_  CC
3 fss 5541 . . 3  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  Im : CC --> CC )
41, 2, 3mp2an 654 . 2  |-  Im : CC
--> CC
5 imsub 11869 . . . 4  |-  ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Im `  (
z  -  A ) )  =  ( ( Im `  z )  -  ( Im `  A ) ) )
65fveq2d 5674 . . 3  |-  ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  (
Im `  ( z  -  A ) ) )  =  ( abs `  (
( Im `  z
)  -  ( Im
`  A ) ) ) )
7 subcl 9239 . . . 4  |-  ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( z  -  A
)  e.  CC )
8 absimle 12043 . . . 4  |-  ( ( z  -  A )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( z  -  A
) ) )  <_ 
( abs `  (
z  -  A ) ) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  (
Im `  ( z  -  A ) ) )  <_  ( abs `  (
z  -  A ) ) )
106, 9eqbrtrrd 4177 . 2  |-  ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( Im `  z
)  -  ( Im
`  A ) ) )  <_  ( abs `  ( z  -  A
) ) )
114, 10cn1lem 12320 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( Im `  z
)  -  ( Im
`  A ) ) )  <  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652    C_ wss 3265   class class class wbr 4155   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225   RR+crp 10546   Imcim 11832   abscabs 11968
This theorem is referenced by:  climim  12329  rlimim  12334  imcncf  18806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970
  Copyright terms: Public domain W3C validator