MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcncf Unicode version

Theorem imcncf 18886
Description: Imaginary part is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
imcncf  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )

Proof of Theorem imcncf
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imf 11873 . 2  |-  Im : CC
--> RR
2 imcn2 12350 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( Im `  w
)  -  ( Im
`  x ) ) )  <  y ) )
32rgen2 2762 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( Im `  w
)  -  ( Im
`  x ) ) )  <  y )
4 ssid 3327 . . 3  |-  CC  C_  CC
5 ax-resscn 9003 . . 3  |-  RR  C_  CC
6 elcncf2 18873 . . 3  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
Im  e.  ( CC
-cn-> RR )  <->  ( Im : CC --> RR  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( Im `  w
)  -  ( Im
`  x ) ) )  <  y ) ) ) )
74, 5, 6mp2an 654 . 2  |-  ( Im  e.  ( CC -cn-> RR )  <->  ( Im : CC
--> RR  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( Im `  w
)  -  ( Im
`  x ) ) )  <  y ) ) )
81, 3, 7mpbir2an 887 1  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945    < clt 9076    - cmin 9247   RR+crp 10568   Imcim 11858   abscabs 11994   -cn->ccncf 18859
This theorem is referenced by:  cnrehmeo  18931  cncombf  19503  cnmbf  19504  dvloglem  20492  mbfresfi  26152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-cncf 18861
  Copyright terms: Public domain W3C validator