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Theorem imgfldref2 25064
Description: If  R is a reflexive relation and  A a part of its field,  A is a part of the image of  A by  R. (Contributed by FL, 3-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
imgfldref2  |-  ( ( A. x  e.  U. U. R x R x  /\  A  C_  U. U. R )  ->  A  C_  ( R " A
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, R

Proof of Theorem imgfldref2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfra1 2593 . . . . 5  |-  F/ x A. x  e.  U. U. R x R x
2 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ x  A  C_  U. U. R
31, 2nfan 1771 . . . 4  |-  F/ x
( A. x  e. 
U. U. R x R x  /\  A  C_  U.
U. R )
4 ssel 3174 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  U. U. R  -> 
( x  e.  A  ->  x  e.  U. U. R ) )
5 rsp 2603 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  U. U. R x R x  ->  (
x  e.  U. U. R  ->  x R x ) )
6 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y R x  <->  x R x ) )
76rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  x R x )  ->  E. y  e.  A  y R x )
87expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( x R x  ->  (
x  e.  A  ->  E. y  e.  A  y R x ) )
95, 8syl6com 31 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U. U. R  ->  ( A. x  e. 
U. U. R x R x  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  y R x ) ) )
104, 9syl6com 31 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  C_  U. U. R  ->  ( A. x  e. 
U. U. R x R x  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  y R x ) ) ) )
1110com24 81 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( A. x  e. 
U. U. R x R x  ->  ( A  C_ 
U. U. R  ->  E. y  e.  A  y R x ) ) ) )
1211pm2.43i 43 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. x  e.  U. U. R x R x  ->  ( A  C_  U.
U. R  ->  E. y  e.  A  y R x ) ) )
1312com3l 75 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  U. U. R x R x  ->  ( A  C_  U. U. R  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  y R x ) ) )
1413imp 418 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  U. U. R x R x  /\  A  C_  U. U. R )  ->  (
x  e.  A  ->  E. y  e.  A  y R x ) )
153, 14alrimi 1745 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  U. U. R x R x  /\  A  C_  U. U. R )  ->  A. x
( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  y R x ) )
16 ssab 3243 . . 3  |-  ( A 
C_  { x  |  E. y  e.  A  y R x }  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  y R x ) )
1715, 16sylibr 203 . 2  |-  ( ( A. x  e.  U. U. R x R x  /\  A  C_  U. U. R )  ->  A  C_ 
{ x  |  E. y  e.  A  y R x } )
18 dfima2 5014 . 2  |-  ( R
" A )  =  { x  |  E. y  e.  A  y R x }
1917, 18syl6sseqr 3225 1  |-  ( ( A. x  e.  U. U. R x R x  /\  A  C_  U. U. R )  ->  A  C_  ( R " A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   "cima 4692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702
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