MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  immul2 Structured version   Unicode version

Theorem immul2 11947
Description: Imaginary part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
immul2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )

Proof of Theorem immul2
StepHypRef Expression
1 recn 9085 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 immul 11946 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
31, 2sylan 459 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
4 rere 11932 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Re `  A )  =  A )
54adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  =  A )
65oveq1d 6099 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
7 reim0 11928 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
87oveq1d 6099 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  =  ( 0  x.  ( Re `  B
) ) )
9 recl 11920 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
109recnd 9119 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
1110mul02d 9269 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  x.  ( Re
`  B ) )  =  0 )
128, 11sylan9eq 2490 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  =  0 )
136, 12oveq12d 6102 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  =  ( ( A  x.  ( Im
`  B ) )  +  0 ) )
14 imcl 11921 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1514recnd 9119 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
16 mulcl 9079 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
171, 15, 16syl2an 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
1817addid1d 9271 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( Im `  B ) )  +  0 )  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
193, 13, 183eqtrd 2474 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995    + caddc 8998    x. cmul 9000   Recre 11907   Imcim 11908
This theorem is referenced by:  imdiv  11948  immul2d  12038  cxpsqrlem  20598  atantan  20768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-2 10063  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911
  Copyright terms: Public domain W3C validator