MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  immul2 Unicode version

Theorem immul2 11862
Description: Imaginary part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
immul2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )

Proof of Theorem immul2
StepHypRef Expression
1 recn 9006 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 immul 11861 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
31, 2sylan 458 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
4 rere 11847 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Re `  A )  =  A )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  =  A )
65oveq1d 6028 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
7 reim0 11843 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
87oveq1d 6028 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  =  ( 0  x.  ( Re `  B
) ) )
9 recl 11835 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
109recnd 9040 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
1110mul02d 9189 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  x.  ( Re
`  B ) )  =  0 )
128, 11sylan9eq 2432 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  =  0 )
136, 12oveq12d 6031 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  =  ( ( A  x.  ( Im
`  B ) )  +  0 ) )
14 imcl 11836 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1514recnd 9040 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
16 mulcl 9000 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
171, 15, 16syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
1817addid1d 9191 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( Im `  B ) )  +  0 )  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
193, 13, 183eqtrd 2416 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916    + caddc 8919    x. cmul 8921   Recre 11822   Imcim 11823
This theorem is referenced by:  imdiv  11863  immul2d  11953  cxpsqrlem  20453  atantan  20623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-2 9983  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826
  Copyright terms: Public domain W3C validator