MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  immul2 Structured version   Unicode version

Theorem immul2 11934
Description: Imaginary part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
immul2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )

Proof of Theorem immul2
StepHypRef Expression
1 recn 9072 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 immul 11933 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
31, 2sylan 458 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
4 rere 11919 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Re `  A )  =  A )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  =  A )
65oveq1d 6088 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
7 reim0 11915 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
87oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  =  ( 0  x.  ( Re `  B
) ) )
9 recl 11907 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
109recnd 9106 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
1110mul02d 9256 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  x.  ( Re
`  B ) )  =  0 )
128, 11sylan9eq 2487 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  =  0 )
136, 12oveq12d 6091 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  =  ( ( A  x.  ( Im
`  B ) )  +  0 ) )
14 imcl 11908 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1514recnd 9106 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
16 mulcl 9066 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
171, 15, 16syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
1817addid1d 9258 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( Im `  B ) )  +  0 )  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
193, 13, 183eqtrd 2471 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    x. cmul 8987   Recre 11894   Imcim 11895
This theorem is referenced by:  imdiv  11935  immul2d  12025  cxpsqrlem  20585  atantan  20755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898
  Copyright terms: Public domain W3C validator