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Theorem imonclem 25916
Description: Lemma for ismonc 25917. (Contributed by FL, 1-Jan-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
imonclem.1  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
imonclem.2  |-  H  =  ( hom `  T
)
imonclem.3  |-  R  =  ( o_ `  T
)
Assertion
Ref Expression
imonclem  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, a,
g, h    C, a,
g, h    F, a,
g, h    H, a,
g, h    O, a,
g, h    R, a    T, a, g, h
Allowed substitution hints:    R( g, h)

Proof of Theorem imonclem
StepHypRef Expression
1 imonclem.1 . . . . . . 7  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
2 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  dom  ( dom_ `  T
)
3 imonclem.2 . . . . . . 7  |-  H  =  ( hom `  T
)
41, 2, 3ehm 25894 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
543expib 1154 . . . . 5  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) ) )
653imp 1145 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T ) )
76adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T ) )
8 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ g ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)
9 nfra2 2610 . . . . . 6  |-  F/ g A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )
108, 9nfan 1783 . . . . 5  |-  F/ g ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )
11 nfv 1609 . . . . . . 7  |-  F/ h
( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)
12 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ h O
13 nfra2 2610 . . . . . . . 8  |-  F/ h A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )
1412, 13nfral 2609 . . . . . . 7  |-  F/ h A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )
1511, 14nfan 1783 . . . . . 6  |-  F/ h
( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )
16 simp1 955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  ->  T  e.  Cat OLD  )
17 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom_ `  T )  =  (
dom_ `  T )
182, 1, 17dmo 25879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  g  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  e.  O )
1918expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( dom_ `  T
) `  g )  e.  O ) )
2019adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( dom_ `  T
) `  g )  e.  O ) )
2116, 20mpan9 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )  -> 
( ( dom_ `  T
) `  g )  e.  O )
22 r2al 2593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  <->  A. g A. h
( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
2322ralbii 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  <->  A. a  e.  O  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
24 sp 1728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. h ( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  ->  (
( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
2524sps 1751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. g A. h ( ( g  e.  ( H `
 <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  -> 
( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
2625ralimi 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  O  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `
 <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  ->  A. a  e.  O  ( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
27 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  e.  O
)  ->  ( ( dom_ `  T ) `  g )  e.  O
)
28 opeq1 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  ->  <. a ,  B >.  =  <. ( ( dom_ `  T
) `  g ) ,  B >. )
2928fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  ->  ( H `  <. a ,  B >. )  =  ( H `
 <. ( ( dom_ `  T ) `  g
) ,  B >. ) )
3029eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  <->  g  e.  ( H `  <. ( ( dom_ `  T
) `  g ) ,  B >. ) ) )
3129eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  ->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  <->  h  e.  ( H `  <. ( ( dom_ `  T
) `  g ) ,  B >. ) ) )
3230, 31anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  ->  ( (
g  e.  ( H `
 <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  <->  ( g  e.  ( H `  <. ( ( dom_ `  T
) `  g ) ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. ( ( dom_ `  T
) `  g ) ,  B >. ) ) ) )
3332imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  ->  ( (
( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  <->  ( (
g  e.  ( H `
 <. ( ( dom_ `  T ) `  g
) ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. (
( dom_ `  T ) `  g ) ,  B >. ) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
3433adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
) )  ->  (
( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  <->  ( (
g  e.  ( H `
 <. ( ( dom_ `  T ) `  g
) ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. (
( dom_ `  T ) `  g ) ,  B >. ) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
35 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
) )  ->  T  e.  Cat OLD  )
3621adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  g )  e.  O
)
37 simp2l 981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  ->  B  e.  O )
3837ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
) )  ->  B  e.  O )
39 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( cod_ `  T )  =  (
cod_ `  T )
401, 2, 17, 39, 3ishomd 25893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  (
g  e.  ( H `
 <. ( ( dom_ `  T ) `  g
) ,  B >. )  <-> 
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B ) ) )
411, 2, 17, 39, 3ishomd 25893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  (
h  e.  ( H `
 <. ( ( dom_ `  T ) `  g
) ,  B >. )  <-> 
( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  B ) ) )
4240, 41anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  (
( g  e.  ( H `  <. (
( dom_ `  T ) `  g ) ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. ( ( dom_ `  T
) `  g ) ,  B >. ) )  <->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) ) ) )
4342imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  (
( ( g  e.  ( H `  <. ( ( dom_ `  T
) `  g ) ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. ( ( dom_ `  T
) `  g ) ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  <->  ( (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
4435, 36, 38, 43syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
) )  ->  (
( ( g  e.  ( H `  <. ( ( dom_ `  T
) `  g ) ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. ( ( dom_ `  T
) `  g ) ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  <->  ( (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
451, 17, 3dehm 25895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B ) )
46453expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B ) ) )
47463imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B )
4847ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B )
49 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
) )  ->  (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) )
50 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  B )  ->  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )
)
5150eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  B )  ->  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )
)
5251ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) ) )  ->  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  h ) )
53 eqtr3 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)
5453ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  B  ->  ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
) )
55543ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  F ) ) )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) )  -> 
( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  -> 
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )
5756com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) )  -> 
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )
5857adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) )  ->  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) )  -> 
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )
5958imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) ) )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  F ) )
60 eqtr3 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)
6160ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B  ->  ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( (
cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
) )
62613ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  B )  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B  ->  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  F ) ) )
6362adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) )  -> 
( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  -> 
( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )
6463com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) )  -> 
( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) )  ->  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) )  -> 
( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )
6665imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) ) )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  F ) )
6752, 59, 663jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) ) )  ->  ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
) )
68 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
g  e.  dom  ( dom_ `  T ) )
69 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
) )
70 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  F )  =  B )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )
7170ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  B ) )
72713ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  B ) )
7372com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B ) )
7473adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) )  ->  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B ) )
7574imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  B )
7668, 69, 753jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B ) )
77 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  ->  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )
78 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )
)
7978eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )
)
8079adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
) )
81 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  F )  =  B )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  B )
8281ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B  ->  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) )
83823ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( (
cod_ `  T ) `  h )  =  B ) )
8483com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  B ) )
8584adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) )  ->  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  B ) )
8685imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B )
8777, 80, 863jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  B ) )
8876, 87jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( dom_ `  T ) `  F
)  =  B  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  B )  /\  (
h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  B ) ) )
8967, 88impbida 805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) )  ->  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B ) )  <->  ( (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
) ) )
9048, 49, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
) )  ->  (
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  B )  /\  (
h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  B ) )  <->  ( (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
) ) )
9190imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
) )  ->  (
( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  B )  /\  (
h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  B ) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) )  <->  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
9234, 44, 913bitrd 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  a  =  ( ( dom_ `  T ) `  g
) )  ->  (
( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  <->  ( (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
9392adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  e.  O
)  /\  a  =  ( ( dom_ `  T
) `  g )
)  ->  ( (
( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  <->  ( (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
9427, 93rspcdv 2900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  e.  O
)  ->  ( A. a  e.  O  (
( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  -> 
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
9526, 94syl5com 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. a  e.  O  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `
 <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  -> 
( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  e.  O
)  ->  ( (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
9623, 95sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  ->  ( (
( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  e.  O
)  ->  ( (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
9796com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  e.  O
)  ->  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  ->  ( (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
9821, 97mpdan 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )  -> 
( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  ->  (
( ( ( dom_ `  T ) `  g
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  h )  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
9998impancom 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  -> 
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( ( ( dom_ `  T ) `  g
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  h )  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
10015, 99alrimi 1757 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  ->  A. h ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( ( ( dom_ `  T ) `  g
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  h )  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
10110, 100alrimi 1757 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  ->  A. g A. h ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
102 r2al 2593 . . . 4  |-  ( A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) )  <->  A. g A. h
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( ( ( dom_ `  T ) `  g
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  h )  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )
103101, 102sylibr 203 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  ->  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
1047, 103jca 518 . 2  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  -> 
( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
105104ex 423 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   <.cop 3656   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   dom_cdom_ 25815   cod_ccod_ 25816   id_cid_ 25817   o_co_ 25818    Cat
OLD ccatOLD 25855   homchomOLD 25888
This theorem is referenced by:  ismonc  25917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-alg 25819  df-dom_ 25820  df-cod_ 25821  df-id_ 25822  df-cmpa 25823  df-ded 25838  df-catOLD 25856  df-homOLD 25889
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