Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsmetlem Unicode version

Theorem imsmetlem 21259
 Description: Lemma for imsmet 21260. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsmetlem.1
imsmetlem.2
imsmetlem.7
imsmetlem.4
imsmetlem.5
imsmetlem.6 CV
imsmetlem.8
imsmetlem.9
Assertion
Ref Expression
imsmetlem

Proof of Theorem imsmetlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imsmetlem.1 . . 3
2 fvex 5539 . . 3
31, 2eqeltri 2353 . 2
4 imsmetlem.9 . . 3
5 imsmetlem.8 . . . 4
61, 5imsdf 21258 . . 3
74, 6ax-mp 8 . 2
8 imsmetlem.2 . . . . . 6
9 imsmetlem.4 . . . . . 6
10 imsmetlem.6 . . . . . 6 CV
111, 8, 9, 10, 5imsdval2 21256 . . . . 5
124, 11mp3an1 1264 . . . 4
1312eqeq1d 2291 . . 3
14 neg1cn 9813 . . . . . 6
151, 9nvscl 21184 . . . . . 6
164, 14, 15mp3an12 1267 . . . . 5
171, 8nvgcl 21176 . . . . . 6
184, 17mp3an1 1264 . . . . 5
1916, 18sylan2 460 . . . 4
20 imsmetlem.5 . . . . 5
211, 20, 10nvz 21235 . . . 4
224, 19, 21sylancr 644 . . 3
231, 20nvzcl 21192 . . . . . . 7
244, 23ax-mp 8 . . . . . 6
251, 8nvrcan 21181 . . . . . . 7
264, 25mpan 651 . . . . . 6
2724, 26mp3an2 1265 . . . . 5
2819, 27sylancom 648 . . . 4
29 simpl 443 . . . . . . 7
3016adantl 452 . . . . . . 7
31 simpr 447 . . . . . . 7
321, 8nvass 21178 . . . . . . . 8
334, 32mpan 651 . . . . . . 7
3429, 30, 31, 33syl3anc 1182 . . . . . 6
351, 8, 9, 20nvlinv 21212 . . . . . . . . 9
364, 35mpan 651 . . . . . . . 8
3736adantl 452 . . . . . . 7
3837oveq2d 5874 . . . . . 6
391, 8, 20nv0rid 21193 . . . . . . . 8
404, 39mpan 651 . . . . . . 7
4140adantr 451 . . . . . 6
4234, 38, 413eqtrd 2319 . . . . 5
431, 8, 20nv0lid 21194 . . . . . . 7
444, 43mpan 651 . . . . . 6
4544adantl 452 . . . . 5
4642, 45eqeq12d 2297 . . . 4
4728, 46bitr3d 246 . . 3
4813, 22, 473bitrd 270 . 2
49 simpr 447 . . . . . . 7
501, 9nvscl 21184 . . . . . . . . 9
514, 14, 50mp3an12 1267 . . . . . . . 8
5251adantr 451 . . . . . . 7
531, 8nvgcl 21176 . . . . . . . 8
544, 53mp3an1 1264 . . . . . . 7
5549, 52, 54syl2anc 642 . . . . . 6
56553adant3 975 . . . . 5
571, 8nvgcl 21176 . . . . . . . 8
584, 57mp3an1 1264 . . . . . . 7
5916, 58sylan2 460 . . . . . 6
60593adant2 974 . . . . 5
611, 8, 10nvtri 21236 . . . . . 6
624, 61mp3an1 1264 . . . . 5
6356, 60, 62syl2anc 642 . . . 4
64123adant1 973 . . . . 5
65 simp1 955 . . . . . . . 8
66163ad2ant3 978 . . . . . . . 8
671, 8nvass 21178 . . . . . . . . 9
684, 67mpan 651 . . . . . . . 8
6956, 65, 66, 68syl3anc 1182 . . . . . . 7
70 simpl 443 . . . . . . . . . . 11
711, 8nvass 21178 . . . . . . . . . . . 12
724, 71mpan 651 . . . . . . . . . . 11
7349, 52, 70, 72syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
741, 8, 9, 20nvlinv 21212 . . . . . . . . . . . . 13
754, 74mpan 651 . . . . . . . . . . . 12
7675adantr 451 . . . . . . . . . . 11
7776oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10
7840adantl 452 . . . . . . . . . 10
7973, 77, 783eqtrd 2319 . . . . . . . . 9
80793adant3 975 . . . . . . . 8
8180oveq1d 5873 . . . . . . 7
8269, 81eqtr3d 2317 . . . . . 6
8382fveq2d 5529 . . . . 5
8464, 83eqtr4d 2318 . . . 4
851, 8, 9, 10, 5imsdval2 21256 . . . . . . . 8
864, 85mp3an1 1264 . . . . . . 7
871, 8, 9, 10nvdif 21231 . . . . . . . 8
884, 87mp3an1 1264 . . . . . . 7
8986, 88eqtrd 2315 . . . . . 6
90893adant3 975 . . . . 5
911, 8, 9, 10, 5imsdval2 21256 . . . . . . 7
924, 91mp3an1 1264 . . . . . 6
93923adant2 974 . . . . 5
9490, 93oveq12d 5876 . . . 4
9563, 84, 943brtr4d 4053 . . 3
96953coml 1158 . 2
973, 7, 48, 96ismeti 17890 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   class class class wbr 4023   cxp 4687  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cle 8868  cneg 9038  cme 16370  cgn 20855  cnv 21140  cpv 21141  cba 21142  cns 21143  cn0v 21144  CVcnmcv 21146  cims 21147 This theorem is referenced by:  imsmet  21260 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-met 16374  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157
 Copyright terms: Public domain W3C validator