MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsmetlem Structured version   Unicode version

Theorem imsmetlem 22184
Description: Lemma for imsmet 22185. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsmetlem.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
imsmetlem.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
imsmetlem.7  |-  M  =  ( inv `  G
)
imsmetlem.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
imsmetlem.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
imsmetlem.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
imsmetlem.8  |-  D  =  ( IndMet `  U )
imsmetlem.9  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
imsmetlem  |-  D  e.  ( Met `  X
)

Proof of Theorem imsmetlem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imsmetlem.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 fvex 5744 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
31, 2eqeltri 2508 . 2  |-  X  e. 
_V
4 imsmetlem.9 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
5 imsmetlem.8 . . . 4  |-  D  =  ( IndMet `  U )
61, 5imsdf 22183 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
74, 6ax-mp 8 . 2  |-  D :
( X  X.  X
) --> RR
8 imsmetlem.2 . . . . . 6  |-  G  =  ( +v `  U
)
9 imsmetlem.4 . . . . . 6  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
10 imsmetlem.6 . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
111, 8, 9, 10, 5imsdval2 22181 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x D y )  =  ( N `  ( x G (
-u 1 S y ) ) ) )
124, 11mp3an1 1267 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
1312eqeq1d 2446 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) )  =  0 ) )
14 neg1cn 10069 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
151, 9nvscl 22109 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  e.  X )
164, 14, 15mp3an12 1270 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  ->  ( -u 1 S y )  e.  X )
171, 8nvgcl 22101 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  -> 
( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
184, 17mp3an1 1267 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  ->  ( x G ( -u 1 S y ) )  e.  X )
1916, 18sylan2 462 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
20 imsmetlem.5 . . . . 5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
211, 20, 10nvz 22160 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x G ( -u
1 S y ) )  e.  X )  ->  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) )  =  0  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
224, 19, 21sylancr 646 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( N `  ( x G (
-u 1 S y ) ) )  =  0  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
231, 20nvzcl 22117 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  e.  X
)
244, 23ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Z  e.  X
251, 8nvrcan 22106 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X  /\  Z  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <-> 
( x G (
-u 1 S y ) )  =  Z ) )
264, 25mpan 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X  /\  Z  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( x G (
-u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
2724, 26mp3an2 1268 . . . . 5  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( x G (
-u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
2819, 27sylancom 650 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
29 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  X )
3016adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  e.  X
)
31 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
321, 8nvass 22103 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x G ( -u
1 S y ) ) G y )  =  ( x G ( ( -u 1 S y ) G y ) ) )
334, 32mpan 653 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( x G ( (
-u 1 S y ) G y ) ) )
3429, 30, 31, 33syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( x G ( (
-u 1 S y ) G y ) ) )
351, 8, 9, 20nvlinv 22137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  (
( -u 1 S y ) G y )  =  Z )
364, 35mpan 653 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  X  ->  (
( -u 1 S y ) G y )  =  Z )
3736adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( -u 1 S y ) G y )  =  Z )
3837oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G ( ( -u 1 S y ) G y ) )  =  ( x G Z ) )
391, 8, 20nv0rid 22118 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
x G Z )  =  x )
404, 39mpan 653 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
x G Z )  =  x )
4140adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G Z )  =  x )
4234, 38, 413eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  x )
431, 8, 20nv0lid 22119 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( Z G y )  =  y )
444, 43mpan 653 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X  ->  ( Z G y )  =  y )
4544adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( Z G y )  =  y )
4642, 45eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  x  =  y
) )
4728, 46bitr3d 248 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z  <->  x  =  y
) )
4813, 22, 473bitrd 272 . 2  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
49 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
501, 9nvscl 22109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  ( -u 1 S z )  e.  X )
514, 14, 50mp3an12 1270 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  ->  ( -u 1 S z )  e.  X )
5251adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( -u 1 S z )  e.  X
)
531, 8nvgcl 22101 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X )  -> 
( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X
)
544, 53mp3an1 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X )  ->  ( x G ( -u 1 S z ) )  e.  X )
5549, 52, 54syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X
)
56553adant3 978 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X
)
571, 8nvgcl 22101 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  -> 
( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
584, 57mp3an1 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  ->  ( z G ( -u 1 S y ) )  e.  X )
5916, 58sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
60593adant2 977 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
611, 8, 10nvtri 22161 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x G ( -u
1 S z ) )  e.  X  /\  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)  ->  ( N `  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )  <_  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) )  +  ( N `  ( z G (
-u 1 S y ) ) ) ) )
624, 61mp3an1 1267 . . . . 5  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X  /\  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)  ->  ( N `  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )  <_  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) )  +  ( N `  ( z G (
-u 1 S y ) ) ) ) )
6356, 60, 62syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  (
( x G (
-u 1 S z ) ) G ( z G ( -u
1 S y ) ) ) )  <_ 
( ( N `  ( x G (
-u 1 S z ) ) )  +  ( N `  (
z G ( -u
1 S y ) ) ) ) )
64123adant1 976 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
65 simp1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  z  e.  X )
66163ad2ant3 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  e.  X
)
671, 8nvass 22103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X
) )  ->  (
( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G (
-u 1 S y ) )  =  ( ( x G (
-u 1 S z ) ) G ( z G ( -u
1 S y ) ) ) )
684, 67mpan 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X
)  ->  ( (
( x G (
-u 1 S z ) ) G z ) G ( -u
1 S y ) )  =  ( ( x G ( -u
1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
6956, 65, 66, 68syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G ( -u 1 S y ) )  =  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )
70 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  z  e.  X )
711, 8nvass 22103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G ( -u
1 S z ) ) G z )  =  ( x G ( ( -u 1 S z ) G z ) ) )
724, 71mpan 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  ( x G ( (
-u 1 S z ) G z ) ) )
7349, 52, 70, 72syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  ( x G ( (
-u 1 S z ) G z ) ) )
741, 8, 9, 20nvlinv 22137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( -u 1 S z ) G z )  =  Z )
754, 74mpan 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  X  ->  (
( -u 1 S z ) G z )  =  Z )
7675adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( -u 1 S z ) G z )  =  Z )
7776oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x G ( ( -u 1 S z ) G z ) )  =  ( x G Z ) )
7840adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x G Z )  =  x )
7973, 77, 783eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  x )
80793adant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  x )
8180oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G ( -u 1 S y ) )  =  ( x G (
-u 1 S y ) ) )
8269, 81eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) )  =  ( x G (
-u 1 S y ) ) )
8382fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  (
( x G (
-u 1 S z ) ) G ( z G ( -u
1 S y ) ) ) )  =  ( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) )
8464, 83eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( N `
 ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
851, 8, 9, 10, 5imsdval2 22181 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
z D x )  =  ( N `  ( z G (
-u 1 S x ) ) ) )
864, 85mp3an1 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( N `
 ( z G ( -u 1 S x ) ) ) )
871, 8, 9, 10nvdif 22156 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( z G ( -u 1 S x ) ) )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
884, 87mp3an1 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  (
z G ( -u
1 S x ) ) )  =  ( N `  ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
8986, 88eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
90893adant3 978 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
911, 8, 9, 10, 5imsdval2 22181 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
z D y )  =  ( N `  ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )
924, 91mp3an1 1267 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D y )  =  ( N `
 ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
93923adant2 977 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D y )  =  ( N `
 ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
9490, 93oveq12d 6101 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S z ) ) )  +  ( N `
 ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
9563, 84, 943brtr4d 4244 . . 3  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
96953coml 1161 . 2  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
973, 7, 48, 96ismeti 18357 1  |-  D  e.  ( Met `  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    <_ cle 9123   -ucneg 9294   Metcme 16689   invcgn 21778   NrmCVeccnv 22065   +vcpv 22066   BaseSetcba 22067   .s
OLDcns 22068   0veccn0v 22069   normCVcnmcv 22071   IndMetcims 22072
This theorem is referenced by:  imsmet  22185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-met 16698  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ginv 21783  df-gdiv 21784  df-ablo 21872  df-vc 22027  df-nv 22073  df-va 22076  df-ba 22077  df-sm 22078  df-0v 22079  df-vs 22080  df-nmcv 22081  df-ims 22082
  Copyright terms: Public domain W3C validator