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Theorem imsmetlem 21259
Description: Lemma for imsmet 21260. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsmetlem.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
imsmetlem.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
imsmetlem.7  |-  M  =  ( inv `  G
)
imsmetlem.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
imsmetlem.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
imsmetlem.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
imsmetlem.8  |-  D  =  ( IndMet `  U )
imsmetlem.9  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
imsmetlem  |-  D  e.  ( Met `  X
)

Proof of Theorem imsmetlem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imsmetlem.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 fvex 5539 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
31, 2eqeltri 2353 . 2  |-  X  e. 
_V
4 imsmetlem.9 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
5 imsmetlem.8 . . . 4  |-  D  =  ( IndMet `  U )
61, 5imsdf 21258 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
74, 6ax-mp 8 . 2  |-  D :
( X  X.  X
) --> RR
8 imsmetlem.2 . . . . . 6  |-  G  =  ( +v `  U
)
9 imsmetlem.4 . . . . . 6  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
10 imsmetlem.6 . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
111, 8, 9, 10, 5imsdval2 21256 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x D y )  =  ( N `  ( x G (
-u 1 S y ) ) ) )
124, 11mp3an1 1264 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
1312eqeq1d 2291 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) )  =  0 ) )
14 neg1cn 9813 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
151, 9nvscl 21184 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  e.  X )
164, 14, 15mp3an12 1267 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  ->  ( -u 1 S y )  e.  X )
171, 8nvgcl 21176 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  -> 
( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
184, 17mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  ->  ( x G ( -u 1 S y ) )  e.  X )
1916, 18sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
20 imsmetlem.5 . . . . 5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
211, 20, 10nvz 21235 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x G ( -u
1 S y ) )  e.  X )  ->  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) )  =  0  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
224, 19, 21sylancr 644 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( N `  ( x G (
-u 1 S y ) ) )  =  0  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
231, 20nvzcl 21192 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  e.  X
)
244, 23ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Z  e.  X
251, 8nvrcan 21181 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X  /\  Z  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <-> 
( x G (
-u 1 S y ) )  =  Z ) )
264, 25mpan 651 . . . . . 6  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X  /\  Z  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( x G (
-u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
2724, 26mp3an2 1265 . . . . 5  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( x G (
-u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
2819, 27sylancom 648 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
29 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  X )
3016adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  e.  X
)
31 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
321, 8nvass 21178 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x G ( -u
1 S y ) ) G y )  =  ( x G ( ( -u 1 S y ) G y ) ) )
334, 32mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( x G ( (
-u 1 S y ) G y ) ) )
3429, 30, 31, 33syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( x G ( (
-u 1 S y ) G y ) ) )
351, 8, 9, 20nvlinv 21212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  (
( -u 1 S y ) G y )  =  Z )
364, 35mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  X  ->  (
( -u 1 S y ) G y )  =  Z )
3736adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( -u 1 S y ) G y )  =  Z )
3837oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G ( ( -u 1 S y ) G y ) )  =  ( x G Z ) )
391, 8, 20nv0rid 21193 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
x G Z )  =  x )
404, 39mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
x G Z )  =  x )
4140adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G Z )  =  x )
4234, 38, 413eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  x )
431, 8, 20nv0lid 21194 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( Z G y )  =  y )
444, 43mpan 651 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X  ->  ( Z G y )  =  y )
4544adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( Z G y )  =  y )
4642, 45eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  x  =  y
) )
4728, 46bitr3d 246 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z  <->  x  =  y
) )
4813, 22, 473bitrd 270 . 2  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
49 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
501, 9nvscl 21184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  ( -u 1 S z )  e.  X )
514, 14, 50mp3an12 1267 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  ->  ( -u 1 S z )  e.  X )
5251adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( -u 1 S z )  e.  X
)
531, 8nvgcl 21176 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X )  -> 
( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X
)
544, 53mp3an1 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X )  ->  ( x G ( -u 1 S z ) )  e.  X )
5549, 52, 54syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X
)
56553adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X
)
571, 8nvgcl 21176 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  -> 
( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
584, 57mp3an1 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  ->  ( z G ( -u 1 S y ) )  e.  X )
5916, 58sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
60593adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
611, 8, 10nvtri 21236 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x G ( -u
1 S z ) )  e.  X  /\  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)  ->  ( N `  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )  <_  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) )  +  ( N `  ( z G (
-u 1 S y ) ) ) ) )
624, 61mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X  /\  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)  ->  ( N `  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )  <_  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) )  +  ( N `  ( z G (
-u 1 S y ) ) ) ) )
6356, 60, 62syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  (
( x G (
-u 1 S z ) ) G ( z G ( -u
1 S y ) ) ) )  <_ 
( ( N `  ( x G (
-u 1 S z ) ) )  +  ( N `  (
z G ( -u
1 S y ) ) ) ) )
64123adant1 973 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
65 simp1 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  z  e.  X )
66163ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  e.  X
)
671, 8nvass 21178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X
) )  ->  (
( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G (
-u 1 S y ) )  =  ( ( x G (
-u 1 S z ) ) G ( z G ( -u
1 S y ) ) ) )
684, 67mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X
)  ->  ( (
( x G (
-u 1 S z ) ) G z ) G ( -u
1 S y ) )  =  ( ( x G ( -u
1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
6956, 65, 66, 68syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G ( -u 1 S y ) )  =  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )
70 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  z  e.  X )
711, 8nvass 21178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G ( -u
1 S z ) ) G z )  =  ( x G ( ( -u 1 S z ) G z ) ) )
724, 71mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  ( x G ( (
-u 1 S z ) G z ) ) )
7349, 52, 70, 72syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  ( x G ( (
-u 1 S z ) G z ) ) )
741, 8, 9, 20nvlinv 21212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( -u 1 S z ) G z )  =  Z )
754, 74mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  X  ->  (
( -u 1 S z ) G z )  =  Z )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( -u 1 S z ) G z )  =  Z )
7776oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x G ( ( -u 1 S z ) G z ) )  =  ( x G Z ) )
7840adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x G Z )  =  x )
7973, 77, 783eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  x )
80793adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  x )
8180oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G ( -u 1 S y ) )  =  ( x G (
-u 1 S y ) ) )
8269, 81eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) )  =  ( x G (
-u 1 S y ) ) )
8382fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  (
( x G (
-u 1 S z ) ) G ( z G ( -u
1 S y ) ) ) )  =  ( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) )
8464, 83eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( N `
 ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
851, 8, 9, 10, 5imsdval2 21256 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
z D x )  =  ( N `  ( z G (
-u 1 S x ) ) ) )
864, 85mp3an1 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( N `
 ( z G ( -u 1 S x ) ) ) )
871, 8, 9, 10nvdif 21231 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( z G ( -u 1 S x ) ) )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
884, 87mp3an1 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  (
z G ( -u
1 S x ) ) )  =  ( N `  ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
8986, 88eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
90893adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
911, 8, 9, 10, 5imsdval2 21256 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
z D y )  =  ( N `  ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )
924, 91mp3an1 1264 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D y )  =  ( N `
 ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
93923adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D y )  =  ( N `
 ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
9490, 93oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S z ) ) )  +  ( N `
 ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
9563, 84, 943brtr4d 4053 . . 3  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
96953coml 1158 . 2  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
973, 7, 48, 96ismeti 17890 1  |-  D  e.  ( Met `  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868   -ucneg 9038   Metcme 16370   invcgn 20855   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143   0veccn0v 21144   normCVcnmcv 21146   IndMetcims 21147
This theorem is referenced by:  imsmet  21260
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-met 16374  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157
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