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Theorem imsub 11716
Description: Imaginary part distributes over subtraction. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
imsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )

Proof of Theorem imsub
StepHypRef Expression
1 negcl 9142 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
2 imadd 11715 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  -u B
) )  =  ( ( Im `  A
)  +  ( Im
`  -u B ) ) )
31, 2sylan2 460 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  -u B ) ) )
4 imneg 11714 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
54adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  -u B
)  =  -u (
Im `  B )
)
65oveq2d 5961 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  -u B
) )  =  ( ( Im `  A
)  +  -u (
Im `  B )
) )
73, 6eqtrd 2390 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( Im `  A )  +  -u ( Im `  B ) ) )
8 negsub 9185 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
98fveq2d 5612 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  -u B ) )  =  ( Im
`  ( A  -  B ) ) )
10 imcl 11692 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1110recnd 8951 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
12 imcl 11692 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1312recnd 8951 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
14 negsub 9185 . . 3  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( ( Im `  A )  +  -u ( Im `  B ) )  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )
1511, 13, 14syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  +  -u ( Im `  B ) )  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )
167, 9, 153eqtr3d 2398 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825    + caddc 8830    - cmin 9127   -ucneg 9128   Imcim 11679
This theorem is referenced by:  imsubd  11798  imcn2  12171  caucvgr  12245  tanregt0  20008  logneg2  20077  logcnlem4  20103  atancj  20317  atanlogaddlem  20320  atanlogsublem  20322
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-2 9894  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682
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