MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsxmet Unicode version

Theorem imsxmet 21375
Description: The induced metric of a normed complex vector space is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsmet.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
imsmet.8  |-  D  =  ( IndMet `  U )
Assertion
Ref Expression
imsxmet  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )

Proof of Theorem imsxmet
StepHypRef Expression
1 imsmet.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 imsmet.8 . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
31, 2imsmet 21374 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 18001 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
53, 4syl 15 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5337   * Metcxmt 16468   Metcme 16469   NrmCVeccnv 21254   BaseSetcba 21256   IndMetcims 21261
This theorem is referenced by:  nvelbl  21376  nvlmcl  21378  nvlmle  21379  vacn  21381  nmcvcn  21382  smcnlem  21384  vmcn  21386  dipcn  21410  blocnilem  21496  ipasslem7  21528  ubthlem1  21563  ubthlem2  21564  minvecolem3  21569  minvecolem4b  21571  minvecolem4  21573  h2hcau  21673  h2hlm  21674  axhcompl-zf  21692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-xadd 10545  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-xmet 16475  df-met 16476  df-grpo 20970  df-gid 20971  df-ginv 20972  df-gdiv 20973  df-ablo 21061  df-vc 21216  df-nv 21262  df-va 21265  df-ba 21266  df-sm 21267  df-0v 21268  df-vs 21269  df-nmcv 21270  df-ims 21271
  Copyright terms: Public domain W3C validator