Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Structured version   Unicode version

Theorem inaprc 8713
 Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 8567 . . . . . 6
2 winaon 8565 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
43ssriv 3354 . . . 4
5 ssorduni 4768 . . . 4
6 ordsson 4772 . . . 4
74, 5, 6mp2b 10 . . 3
8 vex 2961 . . . . . . . 8
9 grothtsk 8712 . . . . . . . 8
108, 9eleqtrri 2511 . . . . . . 7
11 eluni2 4021 . . . . . . 7
1210, 11mpbi 201 . . . . . 6
13 ne0i 3636 . . . . . . . . . 10
14 tskcard 8658 . . . . . . . . . 10
1513, 14sylan2 462 . . . . . . . . 9
1615adantl 454 . . . . . . . 8
17 tsksdom 8633 . . . . . . . . . 10
1817adantl 454 . . . . . . . . 9
19 tskwe2 8650 . . . . . . . . . . 11
2019adantr 453 . . . . . . . . . 10
21 cardsdomel 7863 . . . . . . . . . 10
2220, 21sylan2 462 . . . . . . . . 9
2318, 22mpbid 203 . . . . . . . 8
24 eleq2 2499 . . . . . . . . 9
2524rspcev 3054 . . . . . . . 8
2616, 23, 25syl2anc 644 . . . . . . 7
2726rexlimdvaa 2833 . . . . . 6
2812, 27mpi 17 . . . . 5
29 eluni2 4021 . . . . 5
3028, 29sylibr 205 . . . 4
3130ssriv 3354 . . 3
327, 31eqssi 3366 . 2
33 ssonprc 4774 . . 3
344, 33ax-mp 8 . 2
3532, 34mpbir 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601   wnel 2602  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322  c0 3630  cuni 4017   class class class wbr 4214   word 4582  con0 4583   cdm 4880  cfv 5456   csdm 7110  ccrd 7824  cwina 8559  cina 8560  ctsk 8625 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-ac2 8345  ax-groth 8700 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-smo 6610  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-har 7528  df-r1 7692  df-card 7828  df-aleph 7829  df-cf 7830  df-acn 7831  df-ac 7999  df-wina 8561  df-ina 8562  df-tsk 8626
 Copyright terms: Public domain W3C validator