MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Unicode version

Theorem inaprc 8458
Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc  |-  Inacc  e/  _V

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 8312 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  Inacc W )
2 winaon 8310 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  x  e.  On )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  On )
43ssriv 3184 . . . 4  |-  Inacc  C_  On
5 ssorduni 4577 . . . 4  |-  ( Inacc  C_  On  ->  Ord  U. Inacc )
6 ordsson 4581 . . . 4  |-  ( Ord  U. Inacc  ->  U. Inacc  C_  On )
74, 5, 6mp2b 9 . . 3  |-  U. Inacc  C_  On
8 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
9 grothtsk 8457 . . . . . . . 8  |-  U. Tarski  =  _V
108, 9eleqtrri 2356 . . . . . . 7  |-  y  e. 
U. Tarski
11 eluni2 3831 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. Tarski  <->  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
)
1210, 11mpbi 199 . . . . . 6  |-  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
13 ne0i 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  w  ->  w  =/=  (/) )
14 tskcard 8403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  w  =/=  (/) )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1513, 14sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1615adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( card `  w )  e.  Inacc )
17 tsksdom 8378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  y  ~<  w )
1817adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  ~<  w )
19 tskwe2 8395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  Tarski  ->  w  e.  dom  card )
2019adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  w  e.  dom  card )
21 cardsdomel 7607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  w  e.  dom  card )  ->  ( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2220, 21sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2318, 22mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  e.  ( card `  w ) )
24 eleq2 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( card `  w
)  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  (
card `  w )
) )
2524rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( card `  w
)  e.  Inacc  /\  y  e.  ( card `  w
) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2616, 23, 25syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2726exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
w  e.  Tarski  ->  (
y  e.  w  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z ) ) )
2827rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( E. w  e.  Tarski  y  e.  w  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z ) )
2912, 28mpi 16 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
30 eluni2 3831 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. Inacc  <->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
3129, 30sylibr 203 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  y  e.  U. Inacc )
3231ssriv 3184 . . 3  |-  On  C_  U.
Inacc
337, 32eqssi 3195 . 2  |-  U. Inacc  =  On
34 ssonprc 4583 . . 3  |-  ( Inacc  C_  On  ->  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On ) )
354, 34ax-mp 8 . 2  |-  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On )
3633, 35mpbir 200 1  |-  Inacc  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    e/ wnel 2447   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   Ord word 4391   Oncon0 4392   dom cdm 4689   ` cfv 5255    ~< csdm 6862   cardccrd 7568   Inacc Wcwina 8304   Inacccina 8305   Tarskictsk 8370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089  ax-groth 8445
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-smo 6363  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-har 7272  df-r1 7436  df-card 7572  df-aleph 7573  df-cf 7574  df-acn 7575  df-ac 7743  df-wina 8306  df-ina 8307  df-tsk 8371
  Copyright terms: Public domain W3C validator