MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Unicode version

Theorem inaprc 8474
Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc  |-  Inacc  e/  _V

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 8328 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  Inacc W )
2 winaon 8326 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  x  e.  On )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  On )
43ssriv 3197 . . . 4  |-  Inacc  C_  On
5 ssorduni 4593 . . . 4  |-  ( Inacc  C_  On  ->  Ord  U. Inacc )
6 ordsson 4597 . . . 4  |-  ( Ord  U. Inacc  ->  U. Inacc  C_  On )
74, 5, 6mp2b 9 . . 3  |-  U. Inacc  C_  On
8 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
9 grothtsk 8473 . . . . . . . 8  |-  U. Tarski  =  _V
108, 9eleqtrri 2369 . . . . . . 7  |-  y  e. 
U. Tarski
11 eluni2 3847 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. Tarski  <->  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
)
1210, 11mpbi 199 . . . . . 6  |-  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
13 ne0i 3474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  w  ->  w  =/=  (/) )
14 tskcard 8419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  w  =/=  (/) )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1513, 14sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1615adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( card `  w )  e.  Inacc )
17 tsksdom 8394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  y  ~<  w )
1817adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  ~<  w )
19 tskwe2 8411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  Tarski  ->  w  e.  dom  card )
2019adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  w  e.  dom  card )
21 cardsdomel 7623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  w  e.  dom  card )  ->  ( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2220, 21sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2318, 22mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  e.  ( card `  w ) )
24 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( card `  w
)  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  (
card `  w )
) )
2524rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( card `  w
)  e.  Inacc  /\  y  e.  ( card `  w
) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2616, 23, 25syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2726exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
w  e.  Tarski  ->  (
y  e.  w  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z ) ) )
2827rexlimdv 2679 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( E. w  e.  Tarski  y  e.  w  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z ) )
2912, 28mpi 16 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
30 eluni2 3847 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. Inacc  <->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
3129, 30sylibr 203 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  y  e.  U. Inacc )
3231ssriv 3197 . . 3  |-  On  C_  U.
Inacc
337, 32eqssi 3208 . 2  |-  U. Inacc  =  On
34 ssonprc 4599 . . 3  |-  ( Inacc  C_  On  ->  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On ) )
354, 34ax-mp 8 . 2  |-  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On )
3633, 35mpbir 200 1  |-  Inacc  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    e/ wnel 2460   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   Ord word 4407   Oncon0 4408   dom cdm 4705   ` cfv 5271    ~< csdm 6878   cardccrd 7584   Inacc Wcwina 8320   Inacccina 8321   Tarskictsk 8386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-ac2 8105  ax-groth 8461
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-smo 6379  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-har 7288  df-r1 7452  df-card 7588  df-aleph 7589  df-cf 7590  df-acn 7591  df-ac 7759  df-wina 8322  df-ina 8323  df-tsk 8387
  Copyright terms: Public domain W3C validator