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Theorem inar1 8397
Description:  ( R1 `  A ) for 
A a strongly inaccessible cardinal is equipotent to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inar1  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)

Proof of Theorem inar1
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 8312 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  Inacc W )
2 winaon 8310 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  A  e.  On )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  On )
4 winalim 8317 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  Lim  A )
51, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  Lim  A )
6 r1lim 7444 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
73, 5, 6syl2anc 642 . . . 4  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  =  U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
8 onelon 4417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
93, 8sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
10 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  A  <->  (/)  e.  A
) )
11 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  ( R1 `  (/) ) )
1211breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R1 `  x ) 
~<  A  <->  ( R1 `  (/) )  ~<  A )
)
1310, 12imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  -> 
( R1 `  x
)  ~<  A )  <->  ( (/)  e.  A  ->  ( R1 `  (/) )  ~<  A ) ) )
14 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
15 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
1615breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( R1 `  x
)  ~<  A  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
1714, 16imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  ->  ( R1 `  x
)  ~<  A )  <->  ( y  e.  A  ->  ( R1
`  y )  ~<  A ) ) )
18 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  A  <->  suc  y  e.  A ) )
19 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
2019breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( R1 `  x )  ~<  A  <->  ( R1 ` 
suc  y )  ~<  A ) )
2118, 20imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( R1 `  x )  ~<  A )  <-> 
( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  ~<  A ) ) )
22 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
23 0sdomg 6990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
2422, 23syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  ~<  A ) )
25 r10 7440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
2625breq1i 4030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R1 `  (/) )  ~<  A 
<->  (/)  ~<  A )
2724, 26syl6ibr 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  ->  ( R1 `  (/) )  ~<  A ) )
281, 2, 273syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( (/)  e.  A  ->  ( R1 `  (/) )  ~<  A ) )
29 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
30 ordtr 4406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
A  ->  Tr  A
)
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  Tr  A )
32 trsuc 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Tr  A  /\  suc  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
3332ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  A  ->  ( suc  y  e.  A  ->  y  e.  A ) )
343, 31, 333syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( suc  y  e.  A  ->  y  e.  A ) )
3534adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( suc  y  e.  A  ->  y  e.  A
) )
36 r1suc 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  =  ~P ( R1
`  y ) )
37 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R1
`  y )  e. 
_V
3837cardid 8169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( card `  ( R1 `  y
) )  ~~  ( R1 `  y )
3938ensymi 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R1
`  y )  ~~  ( card `  ( R1 `  y ) )
40 pwen 7034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R1 `  y ) 
~~  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  ~P ( R1
`  y )  ~~  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~P ( R1 `  y )  ~~  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )
4236, 41syl6eqbr 4060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y ) 
~~  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) )
43 winacard 8314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  ( card `  A )  =  A )
4443eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A ) )
45 cardsdom 8177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R1 `  y
)  e.  _V  /\  A  e.  On )  ->  ( ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
4637, 2, 45sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
4744, 46bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
481, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
49 elina 8309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  Inacc 
<->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. z  e.  A  ~P z  ~<  A ) )
5049simp3bi 972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. z  e.  A  ~P z  ~<  A )
51 pweq 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  ~P z  =  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) )
5251breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  ( ~P z  ~<  A  <->  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) 
~<  A ) )
5352rspccv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  A  ~P z  ~<  A  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  ->  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<  A ) )
5450, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  ->  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<  A ) )
5548, 54sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( ( R1 `  y )  ~<  A  ->  ~P ( card `  ( R1 `  y
) )  ~<  A ) )
5655imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( R1 `  y )  ~<  A )  ->  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<  A )
57 ensdomtr 6997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R1 `  suc  y )  ~~  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )  /\  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) 
~<  A )  ->  ( R1 `  suc  y ) 
~<  A )
5842, 56, 57syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( A  e.  Inacc  /\  ( R1 `  y )  ~<  A ) )  -> 
( R1 `  suc  y )  ~<  A )
5958expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( ( R1 `  y )  ~<  A  -> 
( R1 `  suc  y )  ~<  A ) )
6035, 59imim12d 68 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  ~<  A )  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1
`  suc  y )  ~<  A ) ) )
6160ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  Inacc  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  ~<  A ) ) ) )
62 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
63 r1lim 7444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( R1 `  x )  = 
U_ z  e.  x  ( R1 `  z ) )
6462, 63mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  ( R1 `  x )  =  U_ z  e.  x  ( R1 `  z ) )
65 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ y
z
66 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ y
( R1 `  z
)
67 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ y  ~<_
68 nfiu1 3933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ y U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )
6966, 67, 68nfbr 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ y ( R1 `  z
)  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )
70 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  ( R1 `  y )  =  ( R1 `  z
) )
7170breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
( R1 `  y
)  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  <->  ( R1 `  z )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
72 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  _V
7362, 72iunex 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  _V
74 ssiun2 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  x  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  C_  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) ) )
75 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  e. 
_V  ->  ( ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
7673, 74, 75mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  x  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
77 endomtr 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R1 `  y
)  ~~  ( card `  ( R1 `  y
) )  /\  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( R1 `  y )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
7839, 76, 77sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  x  ->  ( R1 `  y )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
7965, 69, 71, 78vtoclgaf 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  x  ->  ( R1 `  z )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
8079rgen 2608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A. z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )
81 iundom 8164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_ 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
8262, 80, 81mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
8362, 73unex 4518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  _V
84 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
85 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e. 
_V  ->  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) ) )
8683, 84, 85mp2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
8762xpdom2 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  -> 
( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  X.  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) ) )
8886, 87ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
89 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  C_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
90 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e. 
_V  ->  ( x  C_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ->  x  ~<_  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
9183, 89, 90mp2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
9283xpdom1 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( x  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )  ~<_  ( ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
9391, 92ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ~<_  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
94 domtr 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  X.  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )  /\  ( x  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )  ~<_  ( ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )  ->  (
x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ~<_  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
9588, 93, 94mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
96 limomss 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  x  ->  om  C_  x
)
9796, 89syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  x  ->  om  C_  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
98 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e. 
_V  ->  ( om  C_  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ->  om 
~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
9983, 97, 98mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Lim  x  ->  om  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
100 infxpidm 8184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( om  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ~~  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ~~  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
102 domentr 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  /\  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ~~  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ->  (
x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
10395, 101, 102sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
104 domtr 6914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  /\  ( x  X.  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ->  U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
10582, 103, 104sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
10664, 105eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim  x  ->  ( R1 `  x )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
107106ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( R1 `  x )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
108 eleq1a 2352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  =  x  ->  A  e.  A ) )
109 ordirr 4410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
1103, 29, 1093syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  Inacc  ->  -.  A  e.  A )
111108, 110nsyli 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  e.  Inacc  ->  -.  A  =  x )
)
112111imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e.  Inacc )  ->  -.  A  =  x
)
113112ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  -.  A  =  x )
114 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  x  e.  A )
115 limord 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
11662elon 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  On  <->  Ord  x )
117115, 116sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
118117ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  x  e.  On )
119 cardf 8172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  card : _V --> On
120 r1fnon 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  R1  Fn  On
121 dffn2 5390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( R1  Fn  On  <->  R1 : On
--> _V )
122120, 121mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  R1 : On
--> _V
123 fco 5398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
card : _V --> On  /\  R1 : On --> _V )  ->  ( card  o.  R1 ) : On --> On )
124119, 122, 123mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( card 
o.  R1 ) : On --> On
125 onss 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  On  ->  x  C_  On )
126 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( card  o.  R1 ) : On --> On  /\  x  C_  On )  -> 
( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> On )
127124, 125, 126sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  ->  (
( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> On )
128 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> On  ->  (
( card  o.  R1 )  |`  x )  Fn  x )
129118, 127, 1283syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( ( card  o.  R1 )  |`  x )  Fn  x
)
1303ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  A  e.  On )
131 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
132 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  A )
133 ontr1 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  A ) )
134133imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( y  e.  x  /\  x  e.  A
) )  ->  y  e.  A )
135130, 131, 132, 134syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  A )
13637, 130, 45sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
1371, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( card `  A )  =  A )
138137ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  ( card `  A )  =  A )
139138eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A ) )
140136, 139bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( R1 `  y
)  ~<  A  <->  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  A
) )
141140biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( R1 `  y
)  ~<  A  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A ) )
142135, 141embantd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A ) )
143117ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  A  e.  Inacc )  ->  x  e.  On )
144 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  x  ->  (
( ( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  =  ( ( card  o.  R1 ) `  y )
)
145144adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  =  ( (
card  o.  R1 ) `  y ) )
146 onelon 4417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
147 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R1 : On --> _V  /\  y  e.  On )  ->  ( ( card  o.  R1 ) `  y )  =  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
148122, 146, 147sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( card  o.  R1 ) `  y )  =  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
149145, 148eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  =  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
150143, 149sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  =  (
card `  ( R1 `  y ) ) )
151150eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  e.  A  <->  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  A
) )
152142, 151sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  e.  A ) )
153152ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  ~<  A )  ->  A. y  e.  x  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  e.  A ) )
154153impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  A. y  e.  x  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  e.  A
)
155 ffnfv 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A  <->  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x )  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  e.  A
) )
156129, 154, 155sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A )
157 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  ( z  e.  A  <->  z  e.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
158157biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
159 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  <->  E. y  e.  x  z  e.  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
160 cardon 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  On
161160onelssi 4501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  z  C_  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
162149sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( z  C_  (
( ( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  <->  z  C_  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
163161, 162syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( z  e.  (
card `  ( R1 `  y ) )  -> 
z  C_  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y ) ) )
164163reximdva 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  On  ->  ( E. y  e.  x  z  e.  ( card `  ( R1 `  y
) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
165159, 164syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  On  ->  (
z  e.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
166158, 165syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  On  ->  (
( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  /\  z  e.  A )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( (
card  o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
167166expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( z  e.  A  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
168167ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) )
169168ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  On  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( (
card  o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
170118, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( (
card  o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
171 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
card  o.  R1 ) : On --> On  ->  Fun  ( card  o.  R1 ) )
172124, 171ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  Fun  ( card  o.  R1 )
173 resfunexg 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Fun  ( card  o.  R1 )  /\  x  e.  _V )  ->  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  e.  _V )
174172, 62, 173mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
card  o.  R1 )  |`  x )  e.  _V
175 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  (
w : x --> A  <->  ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A ) )
176 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  (
w `  y )  =  ( ( (
card  o.  R1 )  |`  x ) `  y
) )
177176sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  (
z  C_  ( w `  y )  <->  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
178177rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  ( E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y )  <->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
179178ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  ( A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y )  <->  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
180175, 179anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  (
( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) )  <->  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) ) )
181174, 180spcev 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) )  ->  E. w
( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) ) )
182156, 170, 181ee12an 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  E. w ( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) ) ) )
1833ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  A  e.  On )
184 cfflb 7885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( E. w ( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) )  ->  ( cf `  A )  C_  x ) )
185183, 118, 184syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( E. w ( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) )  ->  ( cf `  A )  C_  x ) )
186182, 185syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  -> 
( cf `  A
)  C_  x )
)
18749simp2bi 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( cf `  A )  =  A )
188187sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( ( cf `  A )  C_  x 
<->  A  C_  x )
)
189188ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( ( cf `  A )  C_  x 
<->  A  C_  x )
)
190186, 189sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  A  C_  x ) )
191 ontri1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  C_  x  <->  -.  x  e.  A ) )
192183, 118, 191syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  C_  x  <->  -.  x  e.  A ) )
193190, 192sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  -.  x  e.  A
) )
194114, 193mt2d 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  -.  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
19562, 72iunonOLD 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On  ->  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )
196160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  x  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )
197195, 196mprg 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  On
198 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A  <->  A  =  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
199 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
200 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On  ->  Ord  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
201 ordequn 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( A  =  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( A  =  x  \/  A  = 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
202199, 200, 201syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )  ->  ( A  =  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( A  =  x  \/  A  = 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
203198, 202syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )  ->  (
( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  =  A  ->  ( A  =  x  \/  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
204118, 197, 203sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A  ->  ( A  =  x  \/  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
205113, 194, 204mtord 641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  -.  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A )
206 onelss 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  A  ->  x  C_  A ) )
207183, 114, 206sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  x  C_  A
)
208 onelss 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  On  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  ->  ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  A
) )
209130, 142, 208sylsyld 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( card `  ( R1 `  y ) )  C_  A ) )
210209ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  ~<  A )  ->  A. y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  C_  A ) )
211210impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  A. y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  A
)
212 iunss 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  C_  A 
<-> 
A. y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  C_  A )
213211, 212sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) 
C_  A )
214207, 213unssd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
C_  A )
215 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) )
216 iuneq1 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  =  U_ y  e.  if  (
x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) ) )
217215, 216uneq12d 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  ( if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  u.  U_ y  e.  if  (
x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) ) ) )
218217eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  (
( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On  <->  ( if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  u. 
U_ y  e.  if  ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On ) )
219 0elon 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  (/)  e.  On
220219elimel 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  e.  On
221220elexi 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  e. 
_V
222221, 72iunonOLD 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. y  e.  if  (
x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) )  e.  On  ->  U_ y  e.  if  ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )
223160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )
224222, 223mprg 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U_ y  e.  if  ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On
225220, 224onun2i 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  u. 
U_ y  e.  if  ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On
226218, 225dedth 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  On )
227117, 226syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  x  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On )
228227adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  ->  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  On )
2293adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) )  ->  A  e.  On )
230 onsseleq 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
C_  A  <->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  A  \/  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  =  A ) ) )
231228, 229, 230syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  C_  A 
<->  ( ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  A  \/  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A ) ) )
232214, 231mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  A  \/  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  =  A ) )
233232orcomd 377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A  \/  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  A ) )
234233ord 366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( -.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  A ) )
235205, 234mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  A )
236137ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( card `  A )  =  A )
237 iscard 7608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
card `  A )  =  A  <->  ( A  e.  On  /\  A. z  e.  A  z  ~<  A ) )
238237simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  A )  =  A  ->  A. z  e.  A  z  ~<  A )
239 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( z  ~<  A 
<->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A ) )
240239rspccv 2881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  A  z  ~<  A  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  A  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A ) )
241236, 238, 2403syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  A  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A ) )
242235, 241mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A )
243 domsdomtr 6996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R1 `  x
)  ~<_  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  /\  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A )  ->  ( R1 `  x )  ~<  A )
244107, 242, 243syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( R1 `  x )  ~<  A )
245244exp43 595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( Lim  x  ->  ( A  e.  Inacc  ->  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( R1 `  x
)  ~<  A ) ) ) )
246245com4l 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  Inacc  ->  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( x  e.  A  ->  ( R1 `  x
)  ~<  A ) ) ) )
24713, 17, 21, 28, 61, 246tfinds2 4654 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  ->  ( A  e.  Inacc  ->  (
x  e.  A  -> 
( R1 `  x
)  ~<  A ) ) )
248247imp3a 420 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  (
( A  e.  Inacc  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  ~<  A ) )
2499, 248mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  ~<  A )
250 sdomdom 6889 . . . . . . 7  |-  ( ( R1 `  x ) 
~<  A  ->  ( R1
`  x )  ~<_  A )
251249, 250syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  ~<_  A )
252251ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  A  ( R1 `  x )  ~<_  A )
253 iundom 8164 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  A. x  e.  A  ( R1 `  x )  ~<_  A )  ->  U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  ~<_  ( A  X.  A ) )
2543, 252, 253syl2anc 642 . . . 4  |-  ( A  e.  Inacc  ->  U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  ~<_  ( A  X.  A ) )
2557, 254eqbrtrd 4043 . . 3  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~<_  ( A  X.  A ) )
256 winainf 8316 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  om  C_  A
)
2571, 256syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  Inacc  ->  om  C_  A
)
258 infxpen 7642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  ( A  X.  A )  ~~  A )
2593, 257, 258syl2anc 642 . . 3  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( A  X.  A )  ~~  A
)
260 domentr 6920 . . 3  |-  ( ( ( R1 `  A
)  ~<_  ( A  X.  A )  /\  ( A  X.  A )  ~~  A )  ->  ( R1 `  A )  ~<_  A )
261255, 259, 260syl2anc 642 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~<_  A )
262 fvex 5539 . . 3  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
263122fdmi 5394 . . . . 5  |-  dom  R1  =  On
2642, 263syl6eleqr 2374 . . . 4  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  A  e.  dom  R1 )
265 onssr1 7503 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  A 
C_  ( R1 `  A ) )
2661, 264, 2653syl 18 . . 3  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  C_  ( R1 `  A ) )
267 ssdomg 6907 . . 3  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  ( A  C_  ( R1 `  A )  ->  A  ~<_  ( R1 `  A ) ) )
268262, 266, 267mpsyl 59 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  ~<_  ( R1
`  A ) )
269 sbth 6981 . 2  |-  ( ( ( R1 `  A
)  ~<_  A  /\  A  ~<_  ( R1 `  A ) )  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)
270261, 268, 269syl2anc 642 1  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   U_ciun 3905   class class class wbr 4023   Tr wtr 4113   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394   omcom 4656    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691    o. ccom 4693   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   R1cr1 7434   cardccrd 7568   cfccf 7570   Inacc Wcwina 8304   Inacccina 8305
This theorem is referenced by:  r1omALT  8398  inatsk  8400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-cf 7574  df-acn 7575  df-ac 7743  df-wina 8306  df-ina 8307
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