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Theorem inatsk 8416
Description:  ( R1 `  A ) for 
A a strongly inaccessible cardinal is a Tarski's class. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inatsk  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  e.  Tarski )

Proof of Theorem inatsk
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 8328 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  Inacc W )
2 winaon 8326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  A  e.  On )
3 winalim 8333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  Lim  A )
4 r1lim 7460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) )
65eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  x  e.  U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) ) )
7 eliun 3925 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ y  e.  A  ( R1 `  y )  <->  E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y ) )
86, 7syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y ) ) )
9 onelon 4433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
102, 9sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Inacc W  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
11 r1pw 7533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Inacc W  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  ( R1 `  y )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
13 limsuc 4656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
A  ->  ( y  e.  A  <->  suc  y  e.  A
) )
143, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
y  e.  A  <->  suc  y  e.  A ) )
15 r1ord2 7469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
162, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
1714, 16sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
1817imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Inacc W  /\  y  e.  A )  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) )
1918sseld 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Inacc W  /\  y  e.  A )  ->  ( ~P x  e.  ( R1 `  suc  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
2012, 19sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Inacc W  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  ( R1 `  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
2120rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  ( E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
228, 21sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
231, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
2423imp 418 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )
25 elssuni 3871 . . . . . 6  |-  ( ~P x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  C_  U. ( R1 `  A ) )
26 r1tr2 7465 . . . . . 6  |-  U. ( R1 `  A )  C_  ( R1 `  A )
2725, 26syl6ss 3204 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  C_  ( R1
`  A ) )
2824, 27syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ~P x  C_  ( R1 `  A ) )
2928, 24jca 518 . . 3  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( ~P x  C_  ( R1
`  A )  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
3029ralrimiva 2639 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( ~P x  C_  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
311, 2syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  On )
32 r1suc 7458 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1
`  A ) )
3332eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  suc  A )  <->  x  e.  ~P ( R1
`  A ) ) )
3431, 33syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  <->  x  e.  ~P ( R1 `  A ) ) )
35 rankr1ai 7486 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  ->  ( rank `  x )  e. 
suc  A )
3634, 35syl6bir 220 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ~P ( R1 `  A )  ->  ( rank `  x )  e. 
suc  A ) )
3736imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( rank `  x )  e.  suc  A )
38 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( rank `  x )  e.  _V
3938elsuc 4477 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  x )  e.  suc  A  <->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A ) )
4037, 39sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A ) )
4140orcomd 377 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  ( rank `  x )  e.  A ) )
42 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
43 elpwi 3646 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ( R1
`  A )  ->  x  C_  ( R1 `  A ) )
4443ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  C_  ( R1 `  A ) )
45 ssdomg 6923 . . . . . . . 8  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
x  C_  ( R1 `  A )  ->  x  ~<_  ( R1 `  A ) ) )
4642, 44, 45mpsyl 59 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  ~<_  ( R1
`  A ) )
47 rankcf 8415 . . . . . . . . . 10  |-  -.  x  ~<  ( cf `  ( rank `  x ) )
48 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  x )  =  A  ->  ( cf `  ( rank `  x
) )  =  ( cf `  A ) )
49 elina 8325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Inacc 
<->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  ~P x  ~<  A ) )
5049simp2bi 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( cf `  A )  =  A )
5148, 50sylan9eqr 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  ( cf `  ( rank `  x
) )  =  A )
5251breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  (
x  ~<  ( cf `  ( rank `  x ) )  <-> 
x  ~<  A ) )
5347, 52mtbii 293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  -.  x  ~<  A )
54 inar1 8413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)
55 sdomentr 7011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  ~<  ( R1 `  A )  /\  ( R1 `  A )  ~~  A )  ->  x  ~<  A )
5655expcom 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  A ) 
~~  A  ->  (
x  ~<  ( R1 `  A )  ->  x  ~<  A ) )
5754, 56syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  ~<  ( R1 `  A
)  ->  x  ~<  A ) )
5857adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  (
x  ~<  ( R1 `  A )  ->  x  ~<  A ) )
5953, 58mtod 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) )
6059adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) )
61 bren2 6908 . . . . . . 7  |-  ( x 
~~  ( R1 `  A )  <->  ( x  ~<_  ( R1 `  A )  /\  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) ) )
6246, 60, 61sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  ~~  ( R1 `  A ) )
6362ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  ->  x  ~~  ( R1 `  A ) ) )
64 r1elwf 7484 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
6534, 64syl6bir 220 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ~P ( R1 `  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) ) )
6665imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
67 r1fnon 7455 . . . . . . . . . 10  |-  R1  Fn  On
68 fndm 5359 . . . . . . . . . 10  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
6967, 68ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  dom  R1  =  On
7031, 69syl6eleqr 2387 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  dom  R1 )
7170adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
72 rankr1ag 7490 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ( rank `  x
)  e.  A ) )
7366, 71, 72syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( x  e.  ( R1 `  A )  <-> 
( rank `  x )  e.  A ) )
7473biimprd 214 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  e.  A  ->  x  e.  ( R1 `  A ) ) )
7563, 74orim12d 811 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( ( rank `  x )  =  A  \/  ( rank `  x
)  e.  A )  ->  ( x  ~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1 `  A ) ) ) )
7641, 75mpd 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( x  ~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) )
7776ralrimiva 2639 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x 
~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1 `  A
) ) )
78 eltsk2g 8389 . . 3  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
( R1 `  A
)  e.  Tarski  <->  ( A. x  e.  ( R1 `  A ) ( ~P x  C_  ( R1 `  A )  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x  ~~  ( R1
`  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) ) ) )
7942, 78ax-mp 8 . 2  |-  ( ( R1 `  A )  e.  Tarski 
<->  ( A. x  e.  ( R1 `  A
) ( ~P x  C_  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
) )  /\  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x  ~~  ( R1
`  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) ) )
8030, 77, 79sylanbrc 645 1  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  e.  Tarski )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   suc csuc 4410   dom cdm 4705   "cima 4708    Fn wfn 5266   ` cfv 5271    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   R1cr1 7450   rankcrnk 7451   cfccf 7586   Inacc Wcwina 8320   Inacccina 8321   Tarskictsk 8386
This theorem is referenced by:  r1omtsk  8417  r1tskina  8420  grutsk  8460
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-ac2 8105
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-r1 7452  df-rank 7453  df-card 7588  df-cf 7590  df-acn 7591  df-ac 7759  df-wina 8322  df-ina 8323  df-tsk 8387
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