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Theorem inatsk 8400
Description:  ( R1 `  A ) for 
A a strongly inaccessible cardinal is a Tarski's class. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inatsk  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  e.  Tarski )

Proof of Theorem inatsk
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 8312 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  Inacc W )
2 winaon 8310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  A  e.  On )
3 winalim 8317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  Lim  A )
4 r1lim 7444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) )
65eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  x  e.  U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) ) )
7 eliun 3909 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ y  e.  A  ( R1 `  y )  <->  E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y ) )
86, 7syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y ) ) )
9 onelon 4417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
102, 9sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Inacc W  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
11 r1pw 7517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Inacc W  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  ( R1 `  y )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
13 limsuc 4640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
A  ->  ( y  e.  A  <->  suc  y  e.  A
) )
143, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
y  e.  A  <->  suc  y  e.  A ) )
15 r1ord2 7453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
162, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
1714, 16sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
1817imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Inacc W  /\  y  e.  A )  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) )
1918sseld 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Inacc W  /\  y  e.  A )  ->  ( ~P x  e.  ( R1 `  suc  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
2012, 19sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Inacc W  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  ( R1 `  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
2120rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  ( E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
228, 21sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
231, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
2423imp 418 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )
25 elssuni 3855 . . . . . 6  |-  ( ~P x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  C_  U. ( R1 `  A ) )
26 r1tr2 7449 . . . . . 6  |-  U. ( R1 `  A )  C_  ( R1 `  A )
2725, 26syl6ss 3191 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  C_  ( R1
`  A ) )
2824, 27syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ~P x  C_  ( R1 `  A ) )
2928, 24jca 518 . . 3  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( ~P x  C_  ( R1
`  A )  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
3029ralrimiva 2626 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( ~P x  C_  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
311, 2syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  On )
32 r1suc 7442 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1
`  A ) )
3332eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  suc  A )  <->  x  e.  ~P ( R1
`  A ) ) )
3431, 33syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  <->  x  e.  ~P ( R1 `  A ) ) )
35 rankr1ai 7470 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  ->  ( rank `  x )  e. 
suc  A )
3634, 35syl6bir 220 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ~P ( R1 `  A )  ->  ( rank `  x )  e. 
suc  A ) )
3736imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( rank `  x )  e.  suc  A )
38 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( rank `  x )  e.  _V
3938elsuc 4461 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  x )  e.  suc  A  <->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A ) )
4037, 39sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A ) )
4140orcomd 377 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  ( rank `  x )  e.  A ) )
42 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
43 elpwi 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ( R1
`  A )  ->  x  C_  ( R1 `  A ) )
4443ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  C_  ( R1 `  A ) )
45 ssdomg 6907 . . . . . . . 8  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
x  C_  ( R1 `  A )  ->  x  ~<_  ( R1 `  A ) ) )
4642, 44, 45mpsyl 59 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  ~<_  ( R1
`  A ) )
47 rankcf 8399 . . . . . . . . . 10  |-  -.  x  ~<  ( cf `  ( rank `  x ) )
48 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  x )  =  A  ->  ( cf `  ( rank `  x
) )  =  ( cf `  A ) )
49 elina 8309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Inacc 
<->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  ~P x  ~<  A ) )
5049simp2bi 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( cf `  A )  =  A )
5148, 50sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  ( cf `  ( rank `  x
) )  =  A )
5251breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  (
x  ~<  ( cf `  ( rank `  x ) )  <-> 
x  ~<  A ) )
5347, 52mtbii 293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  -.  x  ~<  A )
54 inar1 8397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)
55 sdomentr 6995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  ~<  ( R1 `  A )  /\  ( R1 `  A )  ~~  A )  ->  x  ~<  A )
5655expcom 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  A ) 
~~  A  ->  (
x  ~<  ( R1 `  A )  ->  x  ~<  A ) )
5754, 56syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  ~<  ( R1 `  A
)  ->  x  ~<  A ) )
5857adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  (
x  ~<  ( R1 `  A )  ->  x  ~<  A ) )
5953, 58mtod 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) )
6059adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) )
61 bren2 6892 . . . . . . 7  |-  ( x 
~~  ( R1 `  A )  <->  ( x  ~<_  ( R1 `  A )  /\  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) ) )
6246, 60, 61sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  ~~  ( R1 `  A ) )
6362ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  ->  x  ~~  ( R1 `  A ) ) )
64 r1elwf 7468 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
6534, 64syl6bir 220 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ~P ( R1 `  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) ) )
6665imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
67 r1fnon 7439 . . . . . . . . . 10  |-  R1  Fn  On
68 fndm 5343 . . . . . . . . . 10  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
6967, 68ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  dom  R1  =  On
7031, 69syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  dom  R1 )
7170adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
72 rankr1ag 7474 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ( rank `  x
)  e.  A ) )
7366, 71, 72syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( x  e.  ( R1 `  A )  <-> 
( rank `  x )  e.  A ) )
7473biimprd 214 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  e.  A  ->  x  e.  ( R1 `  A ) ) )
7563, 74orim12d 811 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( ( rank `  x )  =  A  \/  ( rank `  x
)  e.  A )  ->  ( x  ~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1 `  A ) ) ) )
7641, 75mpd 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( x  ~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) )
7776ralrimiva 2626 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x 
~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1 `  A
) ) )
78 eltsk2g 8373 . . 3  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
( R1 `  A
)  e.  Tarski  <->  ( A. x  e.  ( R1 `  A ) ( ~P x  C_  ( R1 `  A )  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x  ~~  ( R1
`  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) ) ) )
7942, 78ax-mp 8 . 2  |-  ( ( R1 `  A )  e.  Tarski 
<->  ( A. x  e.  ( R1 `  A
) ( ~P x  C_  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
) )  /\  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x  ~~  ( R1
`  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) ) )
8030, 77, 79sylanbrc 645 1  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  e.  Tarski )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394   dom cdm 4689   "cima 4692    Fn wfn 5250   ` cfv 5255    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   R1cr1 7434   rankcrnk 7435   cfccf 7570   Inacc Wcwina 8304   Inacccina 8305   Tarskictsk 8370
This theorem is referenced by:  r1omtsk  8401  r1tskina  8404  grutsk  8444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-cf 7574  df-acn 7575  df-ac 7743  df-wina 8306  df-ina 8307  df-tsk 8371
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