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Theorem incexc2 12618
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
Distinct variable group:    k, n, s, A

Proof of Theorem incexc2
StepHypRef Expression
1 incexc 12617 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
2 hashcl 11639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
32ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
43nn0zd 10373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 A )  e.  ZZ )
5 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
6 elpwi 3807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ~P A  -> 
k  C_  A )
7 ssdomg 7153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
k  C_  A  ->  k  ~<_  A ) )
87imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  k  C_  A )  -> 
k  ~<_  A )
95, 6, 8syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  k  ~<_  A )
10 hashdomi 11654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  ~<_  A  ->  ( # `  k
)  <_  ( # `  A
) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 k )  <_ 
( # `  A ) )
12 fznn 11115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 k )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <-> 
( ( # `  k
)  e.  NN  /\  ( # `  k )  <_  ( # `  A
) ) ) )
1312rbaibd 877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  ( # `  k )  <_  ( # `  A
) )  ->  (
( # `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( # `  k
)  e.  NN ) )
144, 11, 13syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
( # `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( # `  k
)  e.  NN ) )
15 ssfi 7329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  k  C_  A )  -> 
k  e.  Fin )
165, 6, 15syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  k  e.  Fin )
17 hashnncl 11645 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Fin  ->  (
( # `  k )  e.  NN  <->  k  =/=  (/) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
( # `  k )  e.  NN  <->  k  =/=  (/) ) )
1914, 18bitr2d 246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
k  =/=  (/)  <->  ( # `  k
)  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )
20 df-ne 2601 . . . . . . . 8  |-  ( k  =/=  (/)  <->  -.  k  =  (/) )
21 risset 2753 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  k )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) n  =  ( # `  k
) )
2219, 20, 213bitr3g 279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( -.  k  =  (/)  <->  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) n  =  ( # `  k ) ) )
23 elsn 3829 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { (/) }  <->  k  =  (/) )
2423notbii 288 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  { (/) }  <->  -.  k  =  (/) )
25 eqcom 2438 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  k )  =  n  <->  n  =  ( # `
 k ) )
2625rexbii 2730 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ( # `  k )  =  n  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) n  =  ( # `  k
) )
2722, 24, 263bitr4g 280 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( -.  k  e.  { (/) }  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) ( # `  k )  =  n ) )
2827rabbidva 2947 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  { k  e.  ~P A  |  -.  k  e.  { (/) } }  =  { k  e.  ~P A  |  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( # `  k
)  =  n }
)
29 dfdif2 3329 . . . . 5  |-  ( ~P A  \  { (/) } )  =  { k  e.  ~P A  |  -.  k  e.  { (/) } }
30 iunrab 4138 . . . . 5  |-  U_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  =  { k  e.  ~P A  |  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( # `  k
)  =  n }
3128, 29, 303eqtr4g 2493 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ~P A  \  { (/) } )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)
3231sumeq1d 12495 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
331, 32eqtrd 2468 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) ) )
34 fzfid 11312 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( 1 ... ( # `
 A ) )  e.  Fin )
35 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A  e.  Fin )
36 pwfi 7402 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
3735, 36sylib 189 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  ~P A  e.  Fin )
38 ssrab2 3428 . . . 4  |-  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  C_  ~P A
39 ssfi 7329 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\ 
{ k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  C_ 
~P A )  ->  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  e.  Fin )
4037, 38, 39sylancl 644 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  e.  Fin )
41 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  s  ->  ( # `
 k )  =  ( # `  s
) )
4241eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  s  ->  (
( # `  k )  =  n  <->  ( # `  s
)  =  n ) )
4342elrab 3092 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  <->  ( s  e.  ~P A  /\  ( # `
 s )  =  n ) )
4443simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ->  ( # `
 s )  =  n )
4544adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  s
)  =  n )
4645ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  ( # `
 s )  =  n )
4746ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) A. s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  s )  =  n )
48 invdisj 4201 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) A. s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  s )  =  n  -> Disj  n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)
4947, 48syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Disj  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n } )
5045oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( # `
 s )  - 
1 )  =  ( n  -  1 ) )
5150oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  =  (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) ) )
5251oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
53 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
5453a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
1  e.  CC )
5554negcld 9398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
56 elfznn 11080 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  n  e.  NN )
5756adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  n  e.  NN )
58 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
5957, 58syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( n  -  1 )  e.  NN0 )
6055, 59expcld 11523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  e.  CC )
6160adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
62 unifi 7395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
6362ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  U. A  e. 
Fin )
6457adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  n  e.  NN )
6545, 64eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  s
)  e.  NN )
6635adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  A  e.  Fin )
67 elrabi 3090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ->  s  e.  ~P A )
6867adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  e.  ~P A )
69 elpwi 3807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ~P A  -> 
s  C_  A )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  C_  A )
71 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  s  C_  A )  -> 
s  e.  Fin )
7266, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  e.  Fin )
73 hashnncl 11645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
( # `  s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( # `
 s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
7565, 74mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  =/=  (/) )
76 intssuni 4072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =/=  (/)  ->  |^| s  C_  U. s )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  C_  U. s )
7870unissd 4039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  U. s  C_ 
U. A )
7977, 78sstrd 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  C_  U. A )
80 ssfi 7329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  e.  Fin  /\ 
|^| s  C_  U. A
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
8163, 79, 80syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
82 hashcl 11639 . . . . . . . 8  |-  ( |^| s  e.  Fin  ->  ( # `
 |^| s )  e. 
NN0 )
8381, 82syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  |^| s )  e.  NN0 )
8483nn0cnd 10276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  |^| s )  e.  CC )
8561, 84mulcld 9108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8652, 85eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8786anasss 629 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  /\  s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n } ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8834, 40, 49, 87fsumiun 12600 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
8952sumeq2dv 12497 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
9040, 60, 84fsummulc2 12567 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) )  =  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
9189, 90eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
9291sumeq2dv 12497 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( # `  |^| s ) ) )
9333, 88, 923eqtrd 2472 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015   |^|cint 4050   U_ciun 4093  Disj wdisj 4182   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ~<_ cdom 7107   Fincfn 7109   CCcc 8988   1c1 8991    x. cmul 8995    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ...cfz 11043   ^cexp 11382   #chash 11618   sum_csu 12479
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
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