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Theorem incexc2 12313
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
Distinct variable group:    k, n, s, A

Proof of Theorem incexc2
StepHypRef Expression
1 incexc 12312 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
2 dfdif2 3174 . . . . . 6  |-  ( ~P A  \  { (/) } )  =  { k  e.  ~P A  |  -.  k  e.  { (/) } }
3 hashcl 11366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
43ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
54nn0zd 10131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 A )  e.  ZZ )
6 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
7 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ~P A  -> 
k  C_  A )
8 ssdomg 6923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
k  C_  A  ->  k  ~<_  A ) )
98imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  k  C_  A )  -> 
k  ~<_  A )
106, 7, 9syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  k  ~<_  A )
11 hashdomi 11378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  ~<_  A  ->  ( # `  k
)  <_  ( # `  A
) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 k )  <_ 
( # `  A ) )
13 fznn 10868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 k )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <-> 
( ( # `  k
)  e.  NN  /\  ( # `  k )  <_  ( # `  A
) ) ) )
1413rbaibd 876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  ( # `  k )  <_  ( # `  A
) )  ->  (
( # `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( # `  k
)  e.  NN ) )
155, 12, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
( # `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( # `  k
)  e.  NN ) )
16 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  k  C_  A )  -> 
k  e.  Fin )
176, 7, 16syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  k  e.  Fin )
18 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Fin  ->  (
( # `  k )  e.  NN  <->  k  =/=  (/) ) )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
( # `  k )  e.  NN  <->  k  =/=  (/) ) )
2015, 19bitr2d 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
k  =/=  (/)  <->  ( # `  k
)  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )
21 df-ne 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =/=  (/)  <->  -.  k  =  (/) )
22 risset 2603 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  k )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) n  =  ( # `  k
) )
2320, 21, 223bitr3g 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( -.  k  =  (/)  <->  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) n  =  ( # `  k ) ) )
24 elsn 3668 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { (/) }  <->  k  =  (/) )
2524notbii 287 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  { (/) }  <->  -.  k  =  (/) )
26 eqcom 2298 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  k )  =  n  <->  n  =  ( # `
 k ) )
2726rexbii 2581 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ( # `  k )  =  n  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) n  =  ( # `  k
) )
2823, 25, 273bitr4g 279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( -.  k  e.  { (/) }  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) ( # `  k )  =  n ) )
2928rabbidva 2792 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  { k  e.  ~P A  |  -.  k  e.  { (/) } }  =  { k  e.  ~P A  |  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( # `  k
)  =  n }
)
302, 29syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ~P A  \  { (/) } )  =  { k  e.  ~P A  |  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( # `  k
)  =  n }
)
31 iunrab 3965 . . . . 5  |-  U_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  =  { k  e.  ~P A  |  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( # `  k
)  =  n }
3230, 31syl6eqr 2346 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ~P A  \  { (/) } )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)
3332sumeq1d 12190 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
341, 33eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) ) )
35 fzfid 11051 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( 1 ... ( # `
 A ) )  e.  Fin )
36 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A  e.  Fin )
37 pwfi 7167 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
3836, 37sylib 188 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  ~P A  e.  Fin )
39 ssrab2 3271 . . . 4  |-  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  C_  ~P A
40 ssfi 7099 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\ 
{ k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  C_ 
~P A )  ->  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  e.  Fin )
4138, 39, 40sylancl 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  e.  Fin )
42 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  s  ->  ( # `
 k )  =  ( # `  s
) )
4342eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  s  ->  (
( # `  k )  =  n  <->  ( # `  s
)  =  n ) )
4443elrab 2936 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  <->  ( s  e.  ~P A  /\  ( # `
 s )  =  n ) )
4544simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ->  ( # `
 s )  =  n )
4645adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  s
)  =  n )
4746ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  ( # `
 s )  =  n )
4847ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) A. s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  s )  =  n )
49 invdisj 4028 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) A. s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  s )  =  n  -> Disj  n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)
5048, 49syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Disj  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n } )
5146oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( # `
 s )  - 
1 )  =  ( n  -  1 ) )
5251oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  =  (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) ) )
5352oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
54 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
5554a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
1  e.  CC )
5655negcld 9160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
57 elfznn 10835 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  n  e.  NN )
5857adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  n  e.  NN )
59 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
6058, 59syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( n  -  1 )  e.  NN0 )
6156, 60expcld 11261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  e.  CC )
6261adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
63 unifi 7161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
6463ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  U. A  e. 
Fin )
6558adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  n  e.  NN )
6646, 65eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  s
)  e.  NN )
6736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  A  e.  Fin )
6844simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ->  s  e.  ~P A )
6968adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  e.  ~P A )
70 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ~P A  -> 
s  C_  A )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  C_  A )
72 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  s  C_  A )  -> 
s  e.  Fin )
7367, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  e.  Fin )
74 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
( # `  s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( # `
 s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
7666, 75mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  =/=  (/) )
77 intssuni 3900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =/=  (/)  ->  |^| s  C_  U. s )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  C_  U. s )
7971unissd 3867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  U. s  C_ 
U. A )
8078, 79sstrd 3202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  C_  U. A )
81 ssfi 7099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  e.  Fin  /\ 
|^| s  C_  U. A
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
8264, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
83 hashcl 11366 . . . . . . . 8  |-  ( |^| s  e.  Fin  ->  ( # `
 |^| s )  e. 
NN0 )
8482, 83syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  |^| s )  e.  NN0 )
8584nn0cnd 10036 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  |^| s )  e.  CC )
8662, 85mulcld 8871 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8753, 86eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8887anasss 628 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  /\  s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n } ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8935, 41, 50, 88fsumiun 12295 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
9053sumeq2dv 12192 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
9141, 61, 85fsummulc2 12262 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) )  =  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
9290, 91eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
9392sumeq2dv 12192 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( # `  |^| s ) ) )
9434, 89, 933eqtrd 2332 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   |^|cint 3878   U_ciun 3921  Disj wdisj 4009   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879   CCcc 8751   1c1 8754    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798   ^cexp 11120   #chash 11353   sum_csu 12174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
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