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Theorem incexc2 12297
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
Distinct variable group:    k, n, s, A

Proof of Theorem incexc2
StepHypRef Expression
1 incexc 12296 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
2 dfdif2 3161 . . . . . 6  |-  ( ~P A  \  { (/) } )  =  { k  e.  ~P A  |  -.  k  e.  { (/) } }
3 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
43ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
54nn0zd 10115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 A )  e.  ZZ )
6 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
7 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ~P A  -> 
k  C_  A )
8 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
k  C_  A  ->  k  ~<_  A ) )
98imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  k  C_  A )  -> 
k  ~<_  A )
106, 7, 9syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  k  ~<_  A )
11 hashdomi 11362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  ~<_  A  ->  ( # `  k
)  <_  ( # `  A
) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 k )  <_ 
( # `  A ) )
13 fznn 10852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 k )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <-> 
( ( # `  k
)  e.  NN  /\  ( # `  k )  <_  ( # `  A
) ) ) )
1413rbaibd 876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  ( # `  k )  <_  ( # `  A
) )  ->  (
( # `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( # `  k
)  e.  NN ) )
155, 12, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
( # `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( # `  k
)  e.  NN ) )
16 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  k  C_  A )  -> 
k  e.  Fin )
176, 7, 16syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  k  e.  Fin )
18 hashnncl 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Fin  ->  (
( # `  k )  e.  NN  <->  k  =/=  (/) ) )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
( # `  k )  e.  NN  <->  k  =/=  (/) ) )
2015, 19bitr2d 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
k  =/=  (/)  <->  ( # `  k
)  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )
21 df-ne 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =/=  (/)  <->  -.  k  =  (/) )
22 risset 2590 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  k )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) n  =  ( # `  k
) )
2320, 21, 223bitr3g 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( -.  k  =  (/)  <->  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) n  =  ( # `  k ) ) )
24 elsn 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { (/) }  <->  k  =  (/) )
2524notbii 287 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  { (/) }  <->  -.  k  =  (/) )
26 eqcom 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  k )  =  n  <->  n  =  ( # `
 k ) )
2726rexbii 2568 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ( # `  k )  =  n  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) n  =  ( # `  k
) )
2823, 25, 273bitr4g 279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( -.  k  e.  { (/) }  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) ( # `  k )  =  n ) )
2928rabbidva 2779 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  { k  e.  ~P A  |  -.  k  e.  { (/) } }  =  { k  e.  ~P A  |  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( # `  k
)  =  n }
)
302, 29syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ~P A  \  { (/) } )  =  { k  e.  ~P A  |  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( # `  k
)  =  n }
)
31 iunrab 3949 . . . . 5  |-  U_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  =  { k  e.  ~P A  |  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( # `  k
)  =  n }
3230, 31syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ~P A  \  { (/) } )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)
3332sumeq1d 12174 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
341, 33eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) ) )
35 fzfid 11035 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( 1 ... ( # `
 A ) )  e.  Fin )
36 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A  e.  Fin )
37 pwfi 7151 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
3836, 37sylib 188 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  ~P A  e.  Fin )
39 ssrab2 3258 . . . 4  |-  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  C_  ~P A
40 ssfi 7083 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\ 
{ k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  C_ 
~P A )  ->  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  e.  Fin )
4138, 39, 40sylancl 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  e.  Fin )
42 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  s  ->  ( # `
 k )  =  ( # `  s
) )
4342eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  s  ->  (
( # `  k )  =  n  <->  ( # `  s
)  =  n ) )
4443elrab 2923 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  <->  ( s  e.  ~P A  /\  ( # `
 s )  =  n ) )
4544simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ->  ( # `
 s )  =  n )
4645adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  s
)  =  n )
4746ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  ( # `
 s )  =  n )
4847ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) A. s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  s )  =  n )
49 invdisj 4012 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) A. s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  s )  =  n  -> Disj  n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)
5048, 49syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Disj  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n } )
5146oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( # `
 s )  - 
1 )  =  ( n  -  1 ) )
5251oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  =  (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) ) )
5352oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
54 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
5554a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
1  e.  CC )
5655negcld 9144 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
57 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  n  e.  NN )
5857adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  n  e.  NN )
59 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
6058, 59syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( n  -  1 )  e.  NN0 )
6156, 60expcld 11245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  e.  CC )
6261adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
63 unifi 7145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
6463ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  U. A  e. 
Fin )
6558adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  n  e.  NN )
6646, 65eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  s
)  e.  NN )
6736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  A  e.  Fin )
6844simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ->  s  e.  ~P A )
6968adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  e.  ~P A )
70 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ~P A  -> 
s  C_  A )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  C_  A )
72 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  s  C_  A )  -> 
s  e.  Fin )
7367, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  e.  Fin )
74 hashnncl 11354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
( # `  s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( # `
 s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
7666, 75mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  =/=  (/) )
77 intssuni 3884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =/=  (/)  ->  |^| s  C_  U. s )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  C_  U. s )
7971unissd 3851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  U. s  C_ 
U. A )
8078, 79sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  C_  U. A )
81 ssfi 7083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  e.  Fin  /\ 
|^| s  C_  U. A
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
8264, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
83 hashcl 11350 . . . . . . . 8  |-  ( |^| s  e.  Fin  ->  ( # `
 |^| s )  e. 
NN0 )
8482, 83syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  |^| s )  e.  NN0 )
8584nn0cnd 10020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  |^| s )  e.  CC )
8662, 85mulcld 8855 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8753, 86eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8887anasss 628 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  /\  s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n } ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8935, 41, 50, 88fsumiun 12279 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
9053sumeq2dv 12176 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
9141, 61, 85fsummulc2 12246 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) )  =  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
9290, 91eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
9392sumeq2dv 12176 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( # `  |^| s ) ) )
9434, 89, 933eqtrd 2319 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   |^|cint 3862   U_ciun 3905  Disj wdisj 3993   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   CCcc 8735   1c1 8738    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782   ^cexp 11104   #chash 11337   sum_csu 12158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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