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Theorem incsequz 26454
Description: An increasing sequence of natural numbers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
Distinct variable groups:    m, F, n    A, m, n

Proof of Theorem incsequz
Dummy variables  k  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( p  =  1  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  1 )
)
21eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( p  =  1  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) ) )
32rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( p  =  1  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1
) ) )
43imbi2d 309 . . . 4  |-  ( p  =  1  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) ) ) )
5 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( p  =  q  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  q )
)
65eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( p  =  q  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q ) ) )
76rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( p  =  q  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  q
) ) )
87imbi2d 309 . . . 4  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q ) ) ) )
9 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) )
109eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
1110rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
1211imbi2d 309 . . . 4  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
13 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( p  =  A  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  A )
)
1413eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( p  =  A  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) ) )
1514rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( p  =  A  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) )
1615imbi2d 309 . . . 4  |-  ( p  =  A  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) ) ) )
17 1nn 10013 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
18 ne0i 3636 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . 6  |-  NN  =/=  (/)
20 ffvelrn 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  NN )
21 elnnuz 10524 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  NN  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
2220, 21sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
2322ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> NN  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 r19.2z 3719 . . . . . 6  |-  ( ( NN  =/=  (/)  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
2519, 23, 24sylancr 646 . . . . 5  |-  ( F : NN --> NN  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2625adantr 453 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
27 peano2nn 10014 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
2827adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
29 nnre 10009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  NN  ->  q  e.  RR )
3029ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  q  e.  RR )
3120nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  RR )
3231adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
3332adantll 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
34 1re 9092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
3630, 33, 35leadd1d 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
q  <_  ( F `  n )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( ( F `  n )  +  1 ) ) )
37 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
38 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
3938fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  ( m  +  1 ) )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
4037, 39breq12d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  <  ( F `  ( m  +  1 ) )  <->  ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4140rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
4241imdistani 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  (
n  e.  NN  /\  ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
43 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  NN )
4427, 43sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  NN )
45 nnltp1le 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  NN  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4620, 44, 45syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4746biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) )
4847anasss 630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  n
)  <  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
4942, 48sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  e.  NN  /\ 
A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
5049anass1rs 784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) )
5150adantll 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) )
52 peano2re 9241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  e.  RR  ->  (
q  +  1 )  e.  RR )
5329, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q  +  1 )  e.  RR )
5453ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( q  +  1 )  e.  RR )
55 peano2nn 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  n )  e.  NN  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  e.  NN )
5620, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  NN )
5756nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  RR )
5857adantll 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `
 n )  +  1 )  e.  RR )
5943nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  RR )
6027, 59sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  RR )
6160adantll 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  RR )
62 letr 9169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  RR  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( q  +  1 )  <_ 
( ( F `  n )  +  1 )  /\  ( ( F `  n )  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) )  ->  (
q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
6354, 58, 61, 62syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( q  +  1 )  <_  ( ( F `
 n )  +  1 )  /\  (
( F `  n
)  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6463adantlrr 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( q  +  1 )  <_  (
( F `  n
)  +  1 )  /\  ( ( F `
 n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
6551, 64mpan2d 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( q  +  1 )  <_  ( ( F `  n )  +  1 )  -> 
( q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6636, 65sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
q  <_  ( F `  n )  ->  (
q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
67 nnz 10305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  NN  ->  q  e.  ZZ )
6820nnzd 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ZZ )
69 eluz 10501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  ( F `  n )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7067, 68, 69syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )
)  ->  ( ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7170adantrlr 705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7271anassrs 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7367peano2zd 10380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q  +  1 )  e.  ZZ )
7443nnzd 10376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ )
7527, 74sylan2 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ )
76 eluz 10501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( q  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
7773, 75, 76syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )
)  ->  ( ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
7877adantrlr 705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
7978anassrs 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  (
n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
8066, 72, 793imtr4d 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  q )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
81 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
8281eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
8382rspcev 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) )
8428, 80, 83ee12an 1373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  q )  ->  E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
8584rexlimdva 2832 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  ->  E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
86 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
8786eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
8887cbvrexv 2935 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) )
8985, 88syl6ib 219 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
9089ex 425 . . . . 5  |-  ( q  e.  NN  ->  (
( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  q )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) ) )
9190a2d 25 . . . 4  |-  ( q  e.  NN  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q ) )  ->  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
924, 8, 12, 16, 26, 91nnind 10020 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) ) )
9392com12 30 . 2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  ( A  e.  NN  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A )
) )
94933impia 1151 1  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995    < clt 9122    <_ cle 9123   NNcn 10002   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490
This theorem is referenced by:  incsequz2  26455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491
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