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Theorem incsequz 26561
Description: An increasing sequence of natural numbers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
Distinct variable groups:    m, F, n    A, m, n

Proof of Theorem incsequz
Dummy variables  k  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( p  =  1  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  1 )
)
21eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( p  =  1  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) ) )
32rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( p  =  1  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1
) ) )
43imbi2d 307 . . . 4  |-  ( p  =  1  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) ) ) )
5 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( p  =  q  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  q )
)
65eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( p  =  q  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q ) ) )
76rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( p  =  q  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  q
) ) )
87imbi2d 307 . . . 4  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q ) ) ) )
9 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) )
109eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
1110rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
1211imbi2d 307 . . . 4  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
13 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( p  =  A  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  A )
)
1413eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( p  =  A  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) ) )
1514rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( p  =  A  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) )
1615imbi2d 307 . . . 4  |-  ( p  =  A  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) ) ) )
17 1nn 9773 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
18 ne0i 3474 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . 6  |-  NN  =/=  (/)
20 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  NN )
21 elnnuz 10280 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  NN  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
2220, 21sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
2322ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> NN  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 r19.2z 3556 . . . . . 6  |-  ( ( NN  =/=  (/)  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
2519, 23, 24sylancr 644 . . . . 5  |-  ( F : NN --> NN  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2625adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
27 peano2nn 9774 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
2827adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
29 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  NN  ->  q  e.  RR )
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  q  e.  RR )
3120nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  RR )
3231adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
3332adantll 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
34 1re 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
3534a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
3630, 33, 35leadd1d 9382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
q  <_  ( F `  n )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( ( F `  n )  +  1 ) ) )
37 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
38 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
3938fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  ( m  +  1 ) )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
4037, 39breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  <  ( F `  ( m  +  1 ) )  <->  ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4140rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
4241imdistani 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  (
n  e.  NN  /\  ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
43 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  NN )
4427, 43sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  NN )
45 nnltp1le 10088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  NN  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4620, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4746biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) )
4847anasss 628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  n
)  <  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
4942, 48sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  e.  NN  /\ 
A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
5049anass1rs 782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) )
5150adantll 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) )
52 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  e.  RR  ->  (
q  +  1 )  e.  RR )
5329, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q  +  1 )  e.  RR )
5453ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( q  +  1 )  e.  RR )
55 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  n )  e.  NN  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  e.  NN )
5620, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  NN )
5756nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  RR )
5857adantll 694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `
 n )  +  1 )  e.  RR )
5943nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  RR )
6027, 59sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  RR )
6160adantll 694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  RR )
62 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  RR  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( q  +  1 )  <_ 
( ( F `  n )  +  1 )  /\  ( ( F `  n )  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) )  ->  (
q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
6354, 58, 61, 62syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( q  +  1 )  <_  ( ( F `
 n )  +  1 )  /\  (
( F `  n
)  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6463adantlrr 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( q  +  1 )  <_  (
( F `  n
)  +  1 )  /\  ( ( F `
 n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
6551, 64mpan2d 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( q  +  1 )  <_  ( ( F `  n )  +  1 )  -> 
( q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6636, 65sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
q  <_  ( F `  n )  ->  (
q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
67 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  NN  ->  q  e.  ZZ )
6820nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ZZ )
69 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  ( F `  n )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7067, 68, 69syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )
)  ->  ( ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7170adantrlr 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7271anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7367peano2zd 10136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q  +  1 )  e.  ZZ )
7443nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ )
7527, 74sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ )
76 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( q  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
7773, 75, 76syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )
)  ->  ( ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
7877adantrlr 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
7978anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  (
n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
8066, 72, 793imtr4d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  q )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
81 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
8281eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
8382rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) )
8428, 80, 83ee12an 1353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  q )  ->  E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
8584rexlimdva 2680 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  ->  E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
86 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
8786eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
8887cbvrexv 2778 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) )
8985, 88syl6ib 217 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
9089ex 423 . . . . 5  |-  ( q  e.  NN  ->  (
( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  q )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) ) )
9190a2d 23 . . . 4  |-  ( q  e.  NN  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q ) )  ->  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
924, 8, 12, 16, 26, 91nnind 9780 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) ) )
9392com12 27 . 2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  ( A  e.  NN  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A )
) )
94933impia 1148 1  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  incsequz2  26562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247
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