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Theorem incsequz2 26562
Description: An increasing sequence of natural numbers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) )
Distinct variable groups:    k, F, m, n    A, k, m, n

Proof of Theorem incsequz2
Dummy variables  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incsequz 26561 . 2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
2 nnssre 9766 . . . . . . . . 9  |-  NN  C_  RR
3 ltso 8919 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  RR
4 sopo 4347 . . . . . . . . . 10  |-  (  < 
Or  RR  ->  <  Po  RR )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  <  Po  RR
6 poss 4332 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  C_  RR  ->  (  <  Po  RR  ->  <  Po  NN ) )
72, 5, 6mp2 17 . . . . . . . 8  |-  <  Po  NN
8 seqpo 26560 . . . . . . . 8  |-  ( (  <  Po  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) )  <->  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
) ) )
97, 8mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) )  <->  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) ) )
109biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) )  ->  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) ) )
1110imdistani 671 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  ( F : NN --> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
) ) )
12 uzp1 10277 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( k  =  n  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
1413adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
15 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  NN )
1615nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ZZ )
17 uzid 10258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  n )  e.  ZZ  ->  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
1918adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
2014, 19eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
2120adantllr 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
22 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  n  ->  (
p  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
2322fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( p  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
24 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  n  ->  ( F `  p )  =  ( F `  n ) )
2524breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  n  ->  (
( F `  p
)  <  ( F `  q )  <->  ( F `  n )  <  ( F `  q )
) )
2623, 25raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  n  ->  ( A. q  e.  ( ZZ>=
`  ( p  + 
1 ) ) ( F `  p )  <  ( F `  q )  <->  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( F `  n
)  <  ( F `  q ) ) )
2726rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
)  /\  n  e.  NN )  ->  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( F `  n
)  <  ( F `  q ) )
28 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  =  k  ->  ( F `  q )  =  ( F `  k ) )
2928breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  k  ->  (
( F `  n
)  <  ( F `  q )  <->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
) )
3029rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. q  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( F `  n )  <  ( F `  q )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
)
3127, 30sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
)
3231adantlll 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
)
3316adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  ZZ )
34 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
35 elnnuz 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3634, 35sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
37 uztrn 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3837ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
39 elnnuz 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4038, 39sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
4136, 40sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
42 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  NN )
4342nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  ZZ )
4441, 43sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
4544anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
46 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n )  e.  ZZ  ->  ( F `  n )  e.  RR )
47 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )  e.  ZZ  ->  ( F `  k )  e.  RR )
48 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  k )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  k ) ) )
4946, 47, 48syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ZZ  /\  ( F `  k )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  k )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  k ) ) )
50 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ZZ  /\  ( F `  k )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) )  <->  ( F `  n )  <_  ( F `  k )
) )
5149, 50sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ZZ  /\  ( F `  k )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  k )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) ) ) )
5233, 45, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  < 
( F `  k
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) ) )
5352adantllr 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  < 
( F `  k
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) ) )
5432, 53mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
5521, 54jaodan 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( k  =  n  \/  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
5612, 55sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
57 uztrn 10260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) )  /\  ( F `
 n )  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
5857ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
5956, 58syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( F `
 n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
6059adantllr 699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
) )  /\  A  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
6160ralrimdva 2646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  A  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `
 n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) )
6261ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  ->  ( ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) ) )
6311, 62sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  A  e.  NN )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) ) )
64633impa 1146 . . 3  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) ) )
6564reximdvai 2666 . 2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
661, 65mpd 14 1  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    Po wpo 4328    Or wor 4329   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247
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