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Theorem incsequz2 26351
Description: An increasing sequence of natural numbers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) )
Distinct variable groups:    k, F, m, n    A, k, m, n

Proof of Theorem incsequz2
Dummy variables  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incsequz 26350 . 2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
2 nnssre 9968 . . . . . . . . 9  |-  NN  C_  RR
3 ltso 9120 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  RR
4 sopo 4488 . . . . . . . . . 10  |-  (  < 
Or  RR  ->  <  Po  RR )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  <  Po  RR
6 poss 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  C_  RR  ->  (  <  Po  RR  ->  <  Po  NN ) )
72, 5, 6mp2 9 . . . . . . . 8  |-  <  Po  NN
8 seqpo 26349 . . . . . . . 8  |-  ( (  <  Po  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) )  <->  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
) ) )
97, 8mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) )  <->  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) ) )
109biimpd 199 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) )  ->  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) ) )
1110imdistani 672 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  ( F : NN --> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
) ) )
12 uzp1 10483 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( k  =  n  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
1413adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
15 ffvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  NN )
1615nnzd 10338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ZZ )
17 uzid 10464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  n )  e.  ZZ  ->  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
1918adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
2014, 19eqeltrd 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
2120adantllr 700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
22 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  n  ->  (
p  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
2322fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( p  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
24 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  n  ->  ( F `  p )  =  ( F `  n ) )
2524breq1d 4190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  n  ->  (
( F `  p
)  <  ( F `  q )  <->  ( F `  n )  <  ( F `  q )
) )
2623, 25raleqbidv 2884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  n  ->  ( A. q  e.  ( ZZ>=
`  ( p  + 
1 ) ) ( F `  p )  <  ( F `  q )  <->  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( F `  n
)  <  ( F `  q ) ) )
2726rspccva 3019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
)  /\  n  e.  NN )  ->  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( F `  n
)  <  ( F `  q ) )
28 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  =  k  ->  ( F `  q )  =  ( F `  k ) )
2928breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  k  ->  (
( F `  n
)  <  ( F `  q )  <->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
) )
3029rspccva 3019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. q  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( F `  n )  <  ( F `  q )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
)
3127, 30sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
)
3231adantlll 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
)
3316adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  ZZ )
34 peano2nn 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
35 elnnuz 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3634, 35sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
37 uztrn 10466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3837ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
39 elnnuz 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4038, 39sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
4136, 40sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
42 ffvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  NN )
4342nnzd 10338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  ZZ )
4441, 43sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
4544anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
46 zre 10250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n )  e.  ZZ  ->  ( F `  n )  e.  RR )
47 zre 10250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )  e.  ZZ  ->  ( F `  k )  e.  RR )
48 ltle 9127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  k )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  k ) ) )
4946, 47, 48syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ZZ  /\  ( F `  k )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  k )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  k ) ) )
50 eluz 10463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ZZ  /\  ( F `  k )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) )  <->  ( F `  n )  <_  ( F `  k )
) )
5149, 50sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ZZ  /\  ( F `  k )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  k )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) ) ) )
5233, 45, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  < 
( F `  k
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) ) )
5352adantllr 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  < 
( F `  k
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) ) )
5432, 53mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
5521, 54jaodan 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( k  =  n  \/  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
5612, 55sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
57 uztrn 10466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) )  /\  ( F `
 n )  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
5857ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
5956, 58syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( F `
 n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
6059adantllr 700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
) )  /\  A  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
6160ralrimdva 2764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  A  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `
 n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) )
6261ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  ->  ( ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) ) )
6311, 62sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  A  e.  NN )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) ) )
64633impa 1148 . . 3  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) ) )
6564reximdvai 2784 . 2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
661, 65mpd 15 1  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675    C_ wss 3288   class class class wbr 4180    Po wpo 4469    Or wor 4470   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   1c1 8955    + caddc 8957    < clt 9084    <_ cle 9085   NNcn 9964   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453
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