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Theorem indcls2 26099
Description: The inductive closure of  X under  F. (Contributed by FL, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
indcls2  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( X  IndCls  F )  =  |^| { a  |  ( X 
C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) } )
Distinct variable groups:    f, a,
j, n, F    U, a, f, j, n    X, a, f, j, n    A, f, j, n
Allowed substitution hint:    A( a)

Proof of Theorem indcls2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . 2  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  U  e.  A )
2 simp2 956 . 2  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  X  C_  U
)
3 lemindclsbu 26098 . . 3  |-  ( ( U  e.  A  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  F  e.  _V )
433adant2 974 . 2  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  F  e.  _V )
5 simp3 957 . 2  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
6 ssexg 4176 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  U  /\  U  e.  A )  ->  X  e.  _V )
76ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U )  ->  X  e.  _V )
873adant3 975 . . . 4  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
98adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  X  e.  _V )
10 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
1110adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  F  e.  _V )
12 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  U  e.  A )
13 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  X  C_  U )
14 simp1 955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  U  e.  A )
15 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  e. 
_V
16 elmapg 6801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  A  /\  ( U  ^m  (
1 ... n ) )  e.  _V )  -> 
( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <-> 
f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U ) )
1714, 15, 16sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  (
f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  <->  f :
( U  ^m  (
1 ... n ) ) --> U ) )
18 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) --> U  ->  dom  f  =  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )
19 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
2014, 19jctir 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  ( U  e.  A  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )
)
2120adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  ( U  e.  A  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )
)
22 selsubf3g 26095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  A  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )  ->  ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  i^i  ~P ( _V  X.  U
) )  =  ( ( U  i^i  U
)  ^m  ( 1 ... n ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  (
( U  ^m  (
1 ... n ) )  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) )  =  ( ( U  i^i  U )  ^m  ( 1 ... n
) ) )
2423eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  (
j  e.  ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) )  <-> 
j  e.  ( ( U  i^i  U )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
25 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  j  e.  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( f `  j )  e.  U
)
2625ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) --> U  -> 
( j  e.  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  ->  ( f `  j )  e.  U
) )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  (
j  e.  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  -> 
( f `  j
)  e.  U ) )
2827com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  ->  (
( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e. 
_V ) )  -> 
( f `  j
)  e.  U ) )
29 inidm 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U  i^i  U )  =  U
3029oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  i^i  U )  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( U  ^m  (
1 ... n ) )
3128, 30eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( ( U  i^i  U )  ^m  ( 1 ... n
) )  ->  (
( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e. 
_V ) )  -> 
( f `  j
)  e.  U ) )
3224, 31syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  (
j  e.  ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) )  ->  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )
)  ->  ( f `  j )  e.  U
) ) )
3332pm2.43a 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  (
j  e.  ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) )  ->  ( f `  j )  e.  U
) )
3433ralrimiv 2638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  A. j  e.  ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  i^i  ~P ( _V  X.  U
) ) ( f `
 j )  e.  U )
3534ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) --> U  -> 
( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  A. j  e.  ( ( U  ^m  (
1 ... n ) )  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) ) ( f `  j
)  e.  U ) )
36 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  f  =  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  -> 
( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  U
) )  =  ( ( U  ^m  (
1 ... n ) )  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) ) )
3736raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  f  =  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  -> 
( A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U  <->  A. j  e.  ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  i^i  ~P ( _V  X.  U
) ) ( f `
 j )  e.  U ) )
3837imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  f  =  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  -> 
( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e. 
_V )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U )  <->  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  A. j  e.  ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  i^i  ~P ( _V  X.  U
) ) ( f `
 j )  e.  U ) ) )
3935, 38syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  f  =  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  -> 
( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  ->  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) ) )
4018, 39mpcom 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) --> U  -> 
( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  U
) ) ( f `
 j )  e.  U ) )
4117, 40syl6bi 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  (
f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  U
) ) ( f `
 j )  e.  U ) ) )
4241pm2.43b 46 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) )
4342rexlimivw 2676 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e. 
_V )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) )
4443com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  ( E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) )
4544ralimdv 2635 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  ( A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) )
4645imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U )
47 sseq2 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  U  ->  ( X  C_  a  <->  X  C_  U
) )
48 xpeq2 4720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  U  ->  ( _V  X.  a )  =  ( _V  X.  U
) )
4948pweqd 3643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  U  ->  ~P ( _V  X.  a
)  =  ~P ( _V  X.  U ) )
5049ineq2d 3383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  U  ->  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) )  =  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  U ) ) )
51 eleq2 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  U  ->  (
( f `  j
)  e.  a  <->  ( f `  j )  e.  U
) )
5250, 51raleqbidv 2761 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  U  ->  ( A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a  <->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) )
5352ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  U  ->  ( A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a  <->  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) )
5447, 53anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  U  ->  (
( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a )  <-> 
( X  C_  U  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j
)  e.  U ) ) )
5554spcegv 2882 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  A  ->  (
( X  C_  U  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j
)  e.  U )  ->  E. a ( X 
C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) ) )
5655imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  A  /\  ( X  C_  U  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) ) ( f `  j
)  e.  U ) )  ->  E. a
( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) )
5712, 13, 46, 56syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  E. a
( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) )
58 abn0 3486 . . . . 5  |-  ( { a  |  ( X 
C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) }  =/=  (/)  <->  E. a
( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) )
5957, 58sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  =/=  (/) )
60 intex 4183 . . . 4  |-  ( { a  |  ( X 
C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) }  =/=  (/)  <->  |^| { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  e.  _V )
6159, 60sylib 188 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  |^| { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  e.  _V )
62 sseq1 3212 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  a  <->  X  C_  a
) )
6362adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  F )  ->  ( x  C_  a  <->  X 
C_  a ) )
64 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  F )  ->  y  =  F )
6564raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  F )  ->  ( A. f  e.  y  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  <->  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) )
6663, 65anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  F )  ->  ( ( x  C_  a  /\  A. f  e.  y  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  <->  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) ) )
6766abbidv 2410 . . . . 5  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  F )  ->  { a  |  ( x  C_  a  /\  A. f  e.  y  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) }  =  { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
6867inteqd 3883 . . . 4  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  F )  ->  |^| { a  |  ( x  C_  a  /\  A. f  e.  y 
A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( f `
 j )  e.  a ) }  =  |^| { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) } )
69 df-indcls 26097 . . . 4  |-  IndCls  =  ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  |^|
{ a  |  ( x  C_  a  /\  A. f  e.  y  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) } )
7068, 69ovmpt2ga 5993 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  F  e.  _V  /\  |^| { a  |  ( X 
C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) }  e.  _V )  ->  ( X  IndCls  F )  =  |^| { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
719, 11, 61, 70syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  ( X  IndCls  F )  = 
|^| { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) } )
721, 2, 4, 5, 71syl31anc 1185 1  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( X  IndCls  F )  =  |^| { a  |  ( X 
C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   |^|cint 3878    X. cxp 4703   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   1c1 8754   NNcn 9762   ...cfz 10798    IndCls clincl 26096
This theorem is referenced by:  xindcls  26100  pfsubkl  26150  pgapspf  26155  pgapspf2  26156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-pm 6791  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-indcls 26097
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