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Theorem indcls2 25996
Description: The inductive closure of  X under  F. (Contributed by FL, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
indcls2  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( X  IndCls  F )  =  |^| { a  |  ( X 
C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) } )
Distinct variable groups:    f, a,
j, n, F    U, a, f, j, n    X, a, f, j, n    A, f, j, n
Allowed substitution hint:    A( a)

Proof of Theorem indcls2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . 2  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  U  e.  A )
2 simp2 956 . 2  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  X  C_  U
)
3 lemindclsbu 25995 . . 3  |-  ( ( U  e.  A  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  F  e.  _V )
433adant2 974 . 2  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  F  e.  _V )
5 simp3 957 . 2  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
6 ssexg 4160 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  U  /\  U  e.  A )  ->  X  e.  _V )
76ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U )  ->  X  e.  _V )
873adant3 975 . . . 4  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
98adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  X  e.  _V )
10 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
1110adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  F  e.  _V )
12 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  U  e.  A )
13 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  X  C_  U )
14 simp1 955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  U  e.  A )
15 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  e. 
_V
16 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  A  /\  ( U  ^m  (
1 ... n ) )  e.  _V )  -> 
( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <-> 
f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U ) )
1714, 15, 16sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  (
f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  <->  f :
( U  ^m  (
1 ... n ) ) --> U ) )
18 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) --> U  ->  dom  f  =  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )
19 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
2014, 19jctir 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  ( U  e.  A  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )
)
2120adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  ( U  e.  A  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )
)
22 selsubf3g 25992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  A  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )  ->  ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  i^i  ~P ( _V  X.  U
) )  =  ( ( U  i^i  U
)  ^m  ( 1 ... n ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  (
( U  ^m  (
1 ... n ) )  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) )  =  ( ( U  i^i  U )  ^m  ( 1 ... n
) ) )
2423eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  (
j  e.  ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) )  <-> 
j  e.  ( ( U  i^i  U )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
25 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  j  e.  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( f `  j )  e.  U
)
2625ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) --> U  -> 
( j  e.  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  ->  ( f `  j )  e.  U
) )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  (
j  e.  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  -> 
( f `  j
)  e.  U ) )
2827com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  ->  (
( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e. 
_V ) )  -> 
( f `  j
)  e.  U ) )
29 inidm 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U  i^i  U )  =  U
3029oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  i^i  U )  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( U  ^m  (
1 ... n ) )
3128, 30eleq2s 2375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( ( U  i^i  U )  ^m  ( 1 ... n
) )  ->  (
( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e. 
_V ) )  -> 
( f `  j
)  e.  U ) )
3224, 31syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  (
j  e.  ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) )  ->  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )
)  ->  ( f `  j )  e.  U
) ) )
3332pm2.43a 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  (
j  e.  ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) )  ->  ( f `  j )  e.  U
) )
3433ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  /\  ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V ) )  ->  A. j  e.  ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  i^i  ~P ( _V  X.  U
) ) ( f `
 j )  e.  U )
3534ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) --> U  -> 
( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  A. j  e.  ( ( U  ^m  (
1 ... n ) )  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) ) ( f `  j
)  e.  U ) )
36 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  f  =  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  -> 
( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  U
) )  =  ( ( U  ^m  (
1 ... n ) )  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) ) )
3736raleqdv 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  f  =  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  -> 
( A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U  <->  A. j  e.  ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  i^i  ~P ( _V  X.  U
) ) ( f `
 j )  e.  U ) )
3837imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  f  =  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  -> 
( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e. 
_V )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U )  <->  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  A. j  e.  ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  i^i  ~P ( _V  X.  U
) ) ( f `
 j )  e.  U ) ) )
3935, 38syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  f  =  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  -> 
( f : ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) --> U  ->  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) ) )
4018, 39mpcom 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) --> U  -> 
( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  U
) ) ( f `
 j )  e.  U ) )
4117, 40syl6bi 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  (
f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  U
) ) ( f `
 j )  e.  U ) ) )
4241pm2.43b 46 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) )
4342rexlimivw 2663 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e. 
_V )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) )
4443com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  ( E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) )
4544ralimdv 2622 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  ->  ( A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) )
4645imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U )
47 sseq2 3200 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  U  ->  ( X  C_  a  <->  X  C_  U
) )
48 xpeq2 4704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  U  ->  ( _V  X.  a )  =  ( _V  X.  U
) )
4948pweqd 3630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  U  ->  ~P ( _V  X.  a
)  =  ~P ( _V  X.  U ) )
5049ineq2d 3370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  U  ->  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) )  =  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  U ) ) )
51 eleq2 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  U  ->  (
( f `  j
)  e.  a  <->  ( f `  j )  e.  U
) )
5250, 51raleqbidv 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  U  ->  ( A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a  <->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) )
5352ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  U  ->  ( A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a  <->  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j )  e.  U ) )
5447, 53anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  U  ->  (
( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a )  <-> 
( X  C_  U  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j
)  e.  U ) ) )
5554spcegv 2869 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  A  ->  (
( X  C_  U  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  U ) ) ( f `  j
)  e.  U )  ->  E. a ( X 
C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) ) )
5655imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  A  /\  ( X  C_  U  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  U ) ) ( f `  j
)  e.  U ) )  ->  E. a
( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) )
5712, 13, 46, 56syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  E. a
( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) )
58 abn0 3473 . . . . 5  |-  ( { a  |  ( X 
C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) }  =/=  (/)  <->  E. a
( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) )
5957, 58sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  =/=  (/) )
60 intex 4167 . . . 4  |-  ( { a  |  ( X 
C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) }  =/=  (/)  <->  |^| { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  e.  _V )
6159, 60sylib 188 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  |^| { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  e.  _V )
62 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  a  <->  X  C_  a
) )
6362adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  F )  ->  ( x  C_  a  <->  X 
C_  a ) )
64 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  F )  ->  y  =  F )
6564raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  F )  ->  ( A. f  e.  y  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  <->  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) )
6663, 65anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  F )  ->  ( ( x  C_  a  /\  A. f  e.  y  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  <->  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) ) )
6766abbidv 2397 . . . . 5  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  F )  ->  { a  |  ( x  C_  a  /\  A. f  e.  y  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) }  =  { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
6867inteqd 3867 . . . 4  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  F )  ->  |^| { a  |  ( x  C_  a  /\  A. f  e.  y 
A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( f `
 j )  e.  a ) }  =  |^| { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) } )
69 df-indcls 25994 . . . 4  |-  IndCls  =  ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  |^|
{ a  |  ( x  C_  a  /\  A. f  e.  y  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) } )
7068, 69ovmpt2ga 5977 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  F  e.  _V  /\  |^| { a  |  ( X 
C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) }  e.  _V )  ->  ( X  IndCls  F )  =  |^| { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
719, 11, 61, 70syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  F  e.  _V )  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) ) )  ->  ( X  IndCls  F )  = 
|^| { a  |  ( X  C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) } )
721, 2, 4, 5, 71syl31anc 1185 1  |-  ( ( U  e.  A  /\  X  C_  U  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( X  IndCls  F )  =  |^| { a  |  ( X 
C_  a  /\  A. f  e.  F  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V 
X.  a ) ) ( f `  j
)  e.  a ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   |^|cint 3862    X. cxp 4687   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   1c1 8738   NNcn 9746   ...cfz 10782    IndCls clincl 25993
This theorem is referenced by:  xindcls  25997  pfsubkl  26047  pgapspf  26052  pgapspf2  26053
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-pm 6775  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-indcls 25994
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