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Theorem indexa 25736
Description: If for every element of an indexing set  A there exists a corresponding element of another set  B, then there exists a subset of  B consisting only of those elements which are indexed by  A. Used to avoid the Axiom of Choice in situations where only the range of the choice function is needed. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
indexa  |-  ( ( B  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c ( c 
C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\ 
A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, c    x, B, y, c    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    M( x, y, c)

Proof of Theorem indexa
Dummy variables  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabexg 4243 . 2  |-  ( B  e.  M  ->  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }  e.  _V )
2 ssrab2 3334 . . . 4  |-  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }  C_  B
32a1i 10 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }  C_  B )
4 nfv 1619 . . . . 5  |-  F/ y  x  e.  A
5 nfre1 2675 . . . . 5  |-  F/ y E. y  e.  {
z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } ph
6 sbceq2a 3078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  x  ->  ( [. w  /  x ]. ph  <->  ph ) )
76rspcev 2960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. ph )
87ancoms 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. ph )
98anim2i 552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( ph  /\  x  e.  A ) )  -> 
( y  e.  B  /\  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. ph ) )
109ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  (
y  e.  B  /\  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. ph )
)
1110anasss 628 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( y  e.  B  /\  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. ph ) )
1211ancoms 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ph )  -> 
( y  e.  B  /\  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. ph ) )
13 sbceq2a 3078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  ( [. z  /  y ]. ph  <->  ph ) )
1413sbcbidv 3121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph  <->  [. w  /  x ]. ph ) )
1514rexbidv 2640 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph  <->  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. ph )
)
1615elrab 2999 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  / 
y ]. ph }  <->  ( y  e.  B  /\  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. ph ) )
1712, 16sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ph )  -> 
y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }
)
18 sbceq2a 3078 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  y  ->  ( [. v  /  y ]. ph  <->  ph ) )
1918rspcev 2960 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }  /\  ph )  ->  E. v  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } [. v  / 
y ]. ph )
2017, 19sylancom 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ph )  ->  E. v  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } [. v  /  y ]. ph )
21 nfcv 2494 . . . . . . . 8  |-  F/_ v { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }
22 nfcv 2494 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y A
23 nfcv 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
w
24 nfsbc1v 3086 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y
[. z  /  y ]. ph
2523, 24nfsbc 3088 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y
[. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph
2622, 25nfrex 2674 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph
27 nfcv 2494 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y B
2826, 27nfrab 2797 . . . . . . . 8  |-  F/_ y { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }
29 nfsbc1v 3086 . . . . . . . 8  |-  F/ y
[. v  /  y ]. ph
30 nfv 1619 . . . . . . . 8  |-  F/ v
ph
3121, 28, 29, 30, 18cbvrexf 2835 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } [. v  /  y ]. ph  <->  E. y  e.  {
z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } ph )
3220, 31sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ph )  ->  E. y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } ph )
3332exp31 587 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
y  e.  B  -> 
( ph  ->  E. y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } ph ) ) )
344, 5, 33rexlimd 2740 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  B  ph 
->  E. y  e.  {
z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } ph ) )
3534ralimia 2692 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } ph )
36 nfsbc1v 3086 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [. w  /  x ]. ph
37 nfv 1619 . . . . . . . . 9  |-  F/ w ph
3836, 37, 6cbvrex 2837 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  A  [. w  /  x ]. ph  <->  E. x  e.  A  ph )
3915, 38syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph  <->  E. x  e.  A  ph ) )
4039elrab 2999 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  / 
y ]. ph }  <->  ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
4140simprbi 450 . . . . 5  |-  ( y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  / 
y ]. ph }  ->  E. x  e.  A  ph )
4241rgen 2684 . . . 4  |-  A. y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } E. x  e.  A  ph
4342a1i 10 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A. y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } E. x  e.  A  ph )
443, 35, 433jca 1132 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } ph  /\  A. y  e. 
{ z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } E. x  e.  A  ph ) )
45 sseq1 3275 . . . . 5  |-  ( c  =  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  / 
y ]. ph }  ->  ( c  C_  B  <->  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }  C_  B ) )
46 nfcv 2494 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x A
47 nfsbc1v 3086 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph
4846, 47nfrex 2674 . . . . . . . 8  |-  F/ x E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph
49 nfcv 2494 . . . . . . . 8  |-  F/_ x B
5048, 49nfrab 2797 . . . . . . 7  |-  F/_ x { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }
5150nfeq2 2505 . . . . . 6  |-  F/ x  c  =  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }
52 nfcv 2494 . . . . . . 7  |-  F/_ y
c
5352, 28rexeqf 2809 . . . . . 6  |-  ( c  =  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  / 
y ]. ph }  ->  ( E. y  e.  c 
ph 
<->  E. y  e.  {
z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } ph ) )
5451, 53ralbid 2637 . . . . 5  |-  ( c  =  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  / 
y ]. ph }  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph 
<-> 
A. x  e.  A  E. y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } ph ) )
5552, 28raleqf 2808 . . . . 5  |-  ( c  =  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  / 
y ]. ph }  ->  ( A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph  <->  A. y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } E. x  e.  A  ph ) )
5645, 54, 553anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( c  =  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  / 
y ]. ph }  ->  ( ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )  <->  ( {
z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } ph  /\  A. y  e. 
{ z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } E. x  e.  A  ph ) ) )
5756spcegv 2945 . . 3  |-  ( { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }  e.  _V  ->  ( ( { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  / 
y ]. ph }  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e. 
{ z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } ph  /\  A. y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } E. x  e.  A  ph )  ->  E. c
( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
5857imp 418 . 2  |-  ( ( { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }  e.  _V  /\  ( { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph }  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  { z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } ph  /\  A. y  e. 
{ z  e.  B  |  E. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. z  /  y ]. ph } E. x  e.  A  ph ) )  ->  E. c ( c 
C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\ 
A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
591, 44, 58syl2an 463 1  |-  ( ( B  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c ( c 
C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\ 
A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623   _Vcvv 2864   [.wsbc 3067    C_ wss 3228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-in 3235  df-ss 3242
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