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Theorem indexdom 26516
Description: If for every element of an indexing set  A there exists a corresponding element of another set  B, then there exists a subset of  B consisting only of those elements which are indexed by  A, and which is dominated by the set  A. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
indexdom  |-  ( ( A  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
Distinct variable groups:    A, c, x, y    B, c, x, y    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    M( x, y, c)

Proof of Theorem indexdom
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfsbc1v 3023 . . 3  |-  F/ y
[. ( f `  x )  /  y ]. ph
2 sbceq1a 3014 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( f `  x )  /  y ]. ph ) )
31, 2ac6gf 26514 . 2  |-  ( ( A  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
4 fdm 5409 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
5 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
65dmex 4957 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
74, 6syl6eqelr 2385 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
8 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
9 fnrndomg 8176 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
f  Fn  A  ->  ran  f  ~<_  A )
)
107, 8, 9sylc 56 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  ~<_  A )
1110adantr 451 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ran  f  ~<_  A )
12 frn 5411 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1312adantr 451 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ran  f  C_  B )
14 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ x  f : A --> B
15 nfra1 2606 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph
1614, 15nfan 1783 . . . . 5  |-  F/ x
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
17 ffun 5407 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A --> B  ->  Fun  f )
1817adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  Fun  f )
194eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A --> B  -> 
( x  e.  dom  f 
<->  x  e.  A ) )
2019biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  f
)
21 fvelrn 5677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  f  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
2218, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
2322adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
24 rsp 2616 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph  ->  ( x  e.  A  ->  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
2524imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph 
/\  x  e.  A
)  ->  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
2625adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )  /\  x  e.  A )  ->  [. ( f `  x )  /  y ]. ph )
27 rspesbca 3084 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ran  f  /\  [. ( f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. y  e.  ran  f ph )
2823, 26, 27syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  ran  f ph )
2928ex 423 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  ran  f ph )
)
3016, 29ralrimi 2637 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
31 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ y  f : A --> B
32 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ y A
3332, 1nfral 2609 . . . . . 6  |-  F/ y A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph
3431, 33nfan 1783 . . . . 5  |-  F/ y ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
35 fvelrnb 5586 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  A  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  y ) )
368, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  -> 
( y  e.  ran  f 
<->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  y ) )
3736adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  y ) )
3824adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( x  e.  A  ->  [. (
f `  x )  /  y ]. ph )
)
392eqcoms 2299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  ( ph 
<-> 
[. ( f `  x )  /  y ]. ph ) )
4039biimprcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph 
->  ( ( f `  x )  =  y  ->  ph ) )
4138, 40syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( f `  x )  =  y  ->  ph )
) )
4216, 41reximdai 2664 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( E. x  e.  A  (
f `  x )  =  y  ->  E. x  e.  A  ph ) )
4337, 42sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( y  e.  ran  f  ->  E. x  e.  A  ph ) )
4434, 43ralrimi 2637 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph )
455rnex 4958 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
46 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( c  ~<_  A  <->  ran  f  ~<_  A ) )
47 sseq1 3212 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( c  C_  B  <->  ran  f  C_  B )
)
4846, 47anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B
)  <->  ( ran  f  ~<_  A  /\  ran  f  C_  B ) ) )
49 rexeq 2750 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( E. y  e.  c  ph  <->  E. y  e.  ran  f ph )
)
5049ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
)
51 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph  <->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )
5250, 51anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) ) )
5348, 52anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )  <-> 
( ( ran  f  ~<_  A  /\  ran  f  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) ) ) )
5445, 53spcev 2888 . . . 4  |-  ( ( ( ran  f  ~<_  A  /\  ran  f  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
5511, 13, 30, 44, 54syl22anc 1183 . . 3  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  E. c
( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B
)  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\ 
A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
5655exlimiv 1624 . 2  |-  ( E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
573, 56syl 15 1  |-  ( ( A  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ran crn 4706   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271    ~<_ cdom 6877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358  ax-ac2 8105
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-r1 7452  df-rank 7453  df-card 7588  df-acn 7591  df-ac 7759
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