Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indexdom Structured version   Unicode version

Theorem indexdom 26427
 Description: If for every element of an indexing set there exists a corresponding element of another set , then there exists a subset of consisting only of those elements which are indexed by , and which is dominated by the set . (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
indexdom
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem indexdom
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfsbc1v 3172 . . 3
2 sbceq1a 3163 . . 3
31, 2ac6gf 26425 . 2
4 fdm 5587 . . . . . . 7
5 vex 2951 . . . . . . . 8
65dmex 5124 . . . . . . 7
74, 6syl6eqelr 2524 . . . . . 6
8 ffn 5583 . . . . . 6
9 fnrndomg 8405 . . . . . 6
107, 8, 9sylc 58 . . . . 5
1110adantr 452 . . . 4
12 frn 5589 . . . . 5
1312adantr 452 . . . 4
14 nfv 1629 . . . . . 6
15 nfra1 2748 . . . . . 6
1614, 15nfan 1846 . . . . 5
17 ffun 5585 . . . . . . . . . 10
1817adantr 452 . . . . . . . . 9
194eleq2d 2502 . . . . . . . . . 10
2019biimpar 472 . . . . . . . . 9
21 fvelrn 5858 . . . . . . . . 9
2218, 20, 21syl2anc 643 . . . . . . . 8
2322adantlr 696 . . . . . . 7
24 rsp 2758 . . . . . . . . 9
2524imp 419 . . . . . . . 8
2625adantll 695 . . . . . . 7
27 rspesbca 3233 . . . . . . 7
2823, 26, 27syl2anc 643 . . . . . 6
2928ex 424 . . . . 5
3016, 29ralrimi 2779 . . . 4
31 nfv 1629 . . . . . 6
32 nfcv 2571 . . . . . . 7
3332, 1nfral 2751 . . . . . 6
3431, 33nfan 1846 . . . . 5
35 fvelrnb 5766 . . . . . . . 8
368, 35syl 16 . . . . . . 7
3736adantr 452 . . . . . 6
3824adantl 453 . . . . . . . 8
392eqcoms 2438 . . . . . . . . 9
4039biimprcd 217 . . . . . . . 8
4138, 40syl6 31 . . . . . . 7
4216, 41reximdai 2806 . . . . . 6
4337, 42sylbid 207 . . . . 5
4434, 43ralrimi 2779 . . . 4
455rnex 5125 . . . . 5
46 breq1 4207 . . . . . . 7
47 sseq1 3361 . . . . . . 7
4846, 47anbi12d 692 . . . . . 6
49 rexeq 2897 . . . . . . . 8
5049ralbidv 2717 . . . . . . 7
51 raleq 2896 . . . . . . 7
5250, 51anbi12d 692 . . . . . 6
5348, 52anbi12d 692 . . . . 5
5445, 53spcev 3035 . . . 4
5511, 13, 30, 44, 54syl22anc 1185 . . 3
5655exlimiv 1644 . 2
573, 56syl 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948  wsbc 3153   wss 3312   class class class wbr 4204   cdm 4870   crn 4871   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446   cdom 7099 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7552  ax-inf2 7588  ax-ac2 8335 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-r1 7682  df-rank 7683  df-card 7818  df-acn 7821  df-ac 7989
 Copyright terms: Public domain W3C validator