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Theorem indexfi 7417
Description: If for every element of a finite indexing set  A there exists a corresponding element of another set  B, then there exists a finite subset of  B consisting only of those elements which are indexed by  A. Proven without the Axiom of Choice, unlike indexdom 26449. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
indexfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
Distinct variable groups:    x, c,
y, A    B, c, x, y    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    M( x, y, c)

Proof of Theorem indexfi
Dummy variables  f  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1630 . . . . . 6  |-  F/ z
ph
2 nfsbc1v 3182 . . . . . 6  |-  F/ y
[. z  /  y ]. ph
3 sbceq1a 3173 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  y ]. ph ) )
41, 2, 3cbvrex 2931 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [. z  /  y ]. ph )
54ralbii 2731 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [. z  / 
y ]. ph )
6 dfsbcq 3165 . . . . 5  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [. z  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  x )  /  y ]. ph ) )
76ac6sfi 7354 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [. z  /  y ]. ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
85, 7sylan2b 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
9 simpll 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A  e.  Fin )
10 ffn 5594 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
1110ad2antrl 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  f  Fn  A )
12 dffn4 5662 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  A  <->  f : A -onto-> ran  f )
1311, 12sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  f : A -onto-> ran  f )
14 fofi 7395 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f : A -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
159, 13, 14syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
16 frn 5600 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1716ad2antrl 710 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  ran  f  C_  B )
18 fnfvelrn 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
1910, 18sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
20 rspesbca 3243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ran  f  /\  [. ( f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. y  e.  ran  f ph )
2120ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  e.  ran  f  -> 
( [. ( f `  x )  /  y ]. ph  ->  E. y  e.  ran  f ph )
)
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph  ->  E. y  e.  ran  f ph )
)
2322ralimdva 2786 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
( A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
)
2423imp 420 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
2524adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
26 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )  /\  w  e.  A
)  ->  w  e.  A )
27 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
28 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w [. ( f `  x
)  /  y ]. ph
29 nfsbc1v 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. w  /  x ]. [. ( f `  w )  /  y ]. ph
30 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
f `  x )  =  ( f `  w ) )
31 dfsbcq 3165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  =  ( f `  w )  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
33 sbceq1a 3173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( [. ( f `  w
)  /  y ]. ph  <->  [. w  /  x ]. [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
3432, 33bitrd 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. w  /  x ]. [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
3528, 29, 34cbvral 2930 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph  <->  A. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3627, 35sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3736r19.21bi 2806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )  /\  w  e.  A
)  ->  [. w  /  x ]. [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
38 rspesbca 3243 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  A  /\  [. w  /  x ]. [. ( f `  w
)  /  y ]. ph )  ->  E. x  e.  A  [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3926, 37, 38syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )  /\  w  e.  A
)  ->  E. x  e.  A  [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
4039ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. w  e.  A  E. x  e.  A  [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
41 dfsbcq 3165 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( f `  w )  ->  ( [. z  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  w )  /  y ]. ph ) )
4241rexbidv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( f `  w )  ->  ( E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph  <->  E. x  e.  A  [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
4342ralrn 5876 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  A  ->  ( A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph  <->  A. w  e.  A  E. x  e.  A  [. (
f `  w )  /  y ]. ph )
)
4411, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  ( A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph  <->  A. w  e.  A  E. x  e.  A  [. (
f `  w )  /  y ]. ph )
)
4540, 44mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  / 
y ]. ph )
46 nfv 1630 . . . . . 6  |-  F/ z E. x  e.  A  ph
47 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ y A
4847, 2nfrex 2763 . . . . . 6  |-  F/ y E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph
493rexbidv 2728 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph )
)
5046, 48, 49cbvral 2930 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph  <->  A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph )
5145, 50sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph )
52 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( c  C_  B  <->  ran  f  C_  B )
)
53 rexeq 2907 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( E. y  e.  c  ph  <->  E. y  e.  ran  f ph )
)
5453ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
)
55 raleq 2906 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph  <->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )
5652, 54, 553anbi123d 1255 . . . . 5  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ran  f  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) ) )
5756rspcev 3054 . . . 4  |-  ( ( ran  f  e.  Fin  /\  ( ran  f  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e. 
ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )
)
5815, 17, 25, 51, 57syl13anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )
)
598, 58exlimddv 1649 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
60593adant2 977 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   [.wsbc 3163    C_ wss 3322   ran crn 4882    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -onto->wfo 5455   ` cfv 5457   Fincfn 7112
This theorem is referenced by:  filbcmb  26455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-1o 6727  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-fin 7116
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