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Theorem indf1ofs 23838
Description: The bijection between finite subsets and the indicator functions with finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indf1ofs  |-  ( O  e.  V  ->  (
(𝟭 `  O )  |`  Fin ) : ( ~P O  i^i  Fin ) -1-1-onto-> {
f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  |  ( `' f " { 1 } )  e.  Fin } )
Distinct variable group:    f, O
Allowed substitution hint:    V( f)

Proof of Theorem indf1ofs
Dummy variables  a 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indf1o 23836 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O ) : ~P O
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) )
2 f1of1 5509 . . . 4  |-  ( (𝟭 `  O ) : ~P O
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  ->  (𝟭 `  O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) )
4 inss1 3423 . . 3  |-  ( ~P O  i^i  Fin )  C_ 
~P O
5 f1ores 5525 . . 3  |-  ( ( (𝟭 `  O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( ~P O  i^i  Fin )  C_  ~P O )  ->  ( (𝟭 `  O
)  |`  ( ~P O  i^i  Fin ) ) : ( ~P O  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 `  O
) " ( ~P O  i^i  Fin )
) )
63, 4, 5sylancl 643 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  (
(𝟭 `  O )  |`  ( ~P O  i^i  Fin ) ) : ( ~P O  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( (𝟭 `  O ) " ( ~P O  i^i  Fin ) ) )
7 resres 5005 . . . 4  |-  ( ( (𝟭 `  O )  |` 
~P O )  |`  Fin )  =  (
(𝟭 `  O )  |`  ( ~P O  i^i  Fin ) )
8 f1ofn 5511 . . . . . 6  |-  ( (𝟭 `  O ) : ~P O
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  ->  (𝟭 `  O )  Fn  ~P O )
9 fnrel 5379 . . . . . . 7  |-  ( (𝟭 `  O )  Fn  ~P O  ->  Rel  (𝟭 `  O
) )
10 fndm 5380 . . . . . . . 8  |-  ( (𝟭 `  O )  Fn  ~P O  ->  dom  (𝟭 `  O
)  =  ~P O
)
11 eqimss 3264 . . . . . . . 8  |-  ( dom  (𝟭 `  O )  =  ~P O  ->  dom  (𝟭 `  O )  C_  ~P O )
1210, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (𝟭 `  O )  Fn  ~P O  ->  dom  (𝟭 `  O
)  C_  ~P O
)
13 relssres 5029 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  (𝟭 `  O )  /\  dom  (𝟭 `  O )  C_ 
~P O )  -> 
( (𝟭 `  O )  |` 
~P O )  =  (𝟭 `  O )
)
149, 12, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (𝟭 `  O )  Fn  ~P O  ->  ( (𝟭 `  O
)  |`  ~P O )  =  (𝟭 `  O
) )
151, 8, 143syl 18 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  (
(𝟭 `  O )  |`  ~P O )  =  (𝟭 `  O ) )
1615reseq1d 4991 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  (
( (𝟭 `  O )  |` 
~P O )  |`  Fin )  =  (
(𝟭 `  O )  |`  Fin ) )
177, 16syl5eqr 2362 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  (
(𝟭 `  O )  |`  ( ~P O  i^i  Fin ) )  =  ( (𝟭 `  O )  |` 
Fin ) )
18 eqidd 2317 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P O  i^i  Fin )  =  ( ~P O  i^i  Fin ) )
19 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  ->  O  e.  V
)
2019adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  g )  ->  O  e.  V
)
21 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  ->  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )
224, 21sseldi 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  ->  a  e.  ~P O )
2322elpwid 3668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  ->  a  C_  O
)
24 indf 23828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( O  e.  V  /\  a  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  a ) : O --> { 0 ,  1 } )
2519, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  ->  ( (𝟭 `  O
) `  a ) : O --> { 0 ,  1 } )
2625adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  g )  ->  ( (𝟭 `  O
) `  a ) : O --> { 0 ,  1 } )
27 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  g )  ->  ( (𝟭 `  O
) `  a )  =  g )
2827feq1d 5416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  g )  ->  ( ( (𝟭 `  O ) `  a
) : O --> { 0 ,  1 }  <->  g : O
--> { 0 ,  1 } ) )
2926, 28mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  g )  ->  g : O --> { 0 ,  1 } )
30 prex 4254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
31 elmapg 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\  O  e.  V )  ->  ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  <-> 
g : O --> { 0 ,  1 } ) )
3230, 31mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O  e.  V  ->  (
g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  <->  g : O
--> { 0 ,  1 } ) )
3332biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( O  e.  V  /\  g : O --> { 0 ,  1 } )  ->  g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) )
3420, 29, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  g )  ->  g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) )
3527cnveqd 4894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  g )  ->  `' ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  `' g )
3635imaeq1d 5048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  g )  ->  ( `' ( (𝟭 `  O ) `  a ) " {
1 } )  =  ( `' g " { 1 } ) )
37 indpi1 23834 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( O  e.  V  /\  a  C_  O )  -> 
( `' ( (𝟭 `  O ) `  a
) " { 1 } )  =  a )
3819, 23, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  ->  ( `' ( (𝟭 `  O ) `  a ) " {
1 } )  =  a )
39 inss2 3424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P O  i^i  Fin )  C_ 
Fin
4039, 21sseldi 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  ->  a  e.  Fin )
4138, 40eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  ->  ( `' ( (𝟭 `  O ) `  a ) " {
1 } )  e. 
Fin )
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  g )  ->  ( `' ( (𝟭 `  O ) `  a ) " {
1 } )  e. 
Fin )
4336, 42eqeltrrd 2391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  g )  ->  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )
4434, 43jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  g )  ->  ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O
)  /\  ( `' g " { 1 } )  e.  Fin )
)
4544ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O  e.  V  /\  a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  ->  ( ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  g  -> 
( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )
) )
4645reximdva 2689 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  V  ->  ( E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
( (𝟭 `  O ) `  a )  =  g  ->  E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O
)  /\  ( `' g " { 1 } )  e.  Fin )
) )
4746imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( O  e.  V  /\  E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
( (𝟭 `  O ) `  a )  =  g )  ->  E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O
)  /\  ( `' g " { 1 } )  e.  Fin )
)
48 0elpw 4217 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ~P O
49 0fin 7132 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  Fin
50 elin 3392 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  ( ~P O  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P O  /\  (/)  e.  Fin )
)
5148, 49, 50mpbir2an 886 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
52 ne0i 3495 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ( ~P O  i^i  Fin )  ->  ( ~P O  i^i  Fin )  =/=  (/) )
53 r19.9rzv 3582 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P O  i^i  Fin )  =/=  (/)  ->  ( (
g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g " {
1 } )  e. 
Fin )  <->  E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O
)  /\  ( `' g " { 1 } )  e.  Fin )
) )
5451, 52, 53mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g " {
1 } )  e. 
Fin )  <->  E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O
)  /\  ( `' g " { 1 } )  e.  Fin )
)
5547, 54sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( O  e.  V  /\  E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
( (𝟭 `  O ) `  a )  =  g )  ->  ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O
)  /\  ( `' g " { 1 } )  e.  Fin )
)
5655ex 423 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  ( E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
( (𝟭 `  O ) `  a )  =  g  ->  ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O
)  /\  ( `' g " { 1 } )  e.  Fin )
) )
57 cnvimass 5070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' g " { 1 } )  C_  dom  g
5832biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( O  e.  V  /\  g  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  O ) )  ->  g : O --> { 0 ,  1 } )
59 fdm 5431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : O --> { 0 ,  1 }  ->  dom  g  =  O )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( O  e.  V  /\  g  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  O ) )  ->  dom  g  =  O )
6160adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O  e.  V  /\  ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )
)  ->  dom  g  =  O )
6257, 61syl5sseq 3260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O  e.  V  /\  ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )
)  ->  ( `' g " { 1 } )  C_  O )
63 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O  e.  V  /\  ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )
)  ->  ( `' g " { 1 } )  e.  Fin )
6462, 63jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O  e.  V  /\  ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )
)  ->  ( ( `' g " {
1 } )  C_  O  /\  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )
)
65 elfpw 7202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' g " {
1 } )  e.  ( ~P O  i^i  Fin )  <->  ( ( `' g " { 1 } )  C_  O  /\  ( `' g " { 1 } )  e.  Fin ) )
6664, 65sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( O  e.  V  /\  ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )
)  ->  ( `' g " { 1 } )  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)
67 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O  e.  V  /\  g  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  O ) )  ->  O  e.  V
)
68 indpreima 23837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O  e.  V  /\  g : O --> { 0 ,  1 } )  ->  g  =  ( (𝟭 `  O ) `  ( `' g " { 1 } ) ) )
6968eqcomd 2321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O  e.  V  /\  g : O --> { 0 ,  1 } )  ->  ( (𝟭 `  O
) `  ( `' g " { 1 } ) )  =  g )
7067, 58, 69syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O  e.  V  /\  g  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  O ) )  ->  ( (𝟭 `  O
) `  ( `' g " { 1 } ) )  =  g )
7170adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( O  e.  V  /\  ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )
)  ->  ( (𝟭 `  O ) `  ( `' g " {
1 } ) )  =  g )
72 fveq2 5563 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( `' g
" { 1 } )  ->  ( (𝟭 `  O ) `  a
)  =  ( (𝟭 `  O ) `  ( `' g " {
1 } ) ) )
7372eqeq1d 2324 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( `' g
" { 1 } )  ->  ( (
(𝟭 `  O ) `  a )  =  g  <-> 
( (𝟭 `  O ) `  ( `' g " { 1 } ) )  =  g ) )
7473rspcev 2918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' g " { 1 } )  e.  ( ~P O  i^i  Fin )  /\  (
(𝟭 `  O ) `  ( `' g " {
1 } ) )  =  g )  ->  E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
( (𝟭 `  O ) `  a )  =  g )
7566, 71, 74syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( O  e.  V  /\  ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )
)  ->  E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) ( (𝟭 `  O
) `  a )  =  g )
7675ex 423 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  (
( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )  ->  E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) ( (𝟭 `  O
) `  a )  =  g ) )
7756, 76impbid 183 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  ( E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
( (𝟭 `  O ) `  a )  =  g  <-> 
( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )
) )
781, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O )  Fn  ~P O )
79 fvelimab 5616 . . . . . 6  |-  ( ( (𝟭 `  O )  Fn  ~P O  /\  ( ~P O  i^i  Fin )  C_ 
~P O )  -> 
( g  e.  ( (𝟭 `  O ) " ( ~P O  i^i  Fin ) )  <->  E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) ( (𝟭 `  O
) `  a )  =  g ) )
8078, 4, 79sylancl 643 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  (
g  e.  ( (𝟭 `  O ) " ( ~P O  i^i  Fin )
)  <->  E. a  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) ( (𝟭 `  O
) `  a )  =  g ) )
81 cnveq 4892 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  `' f  =  `' g
)
8281imaeq1d 5048 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  ( `' f " {
1 } )  =  ( `' g " { 1 } ) )
8382eleq1d 2382 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (
( `' f " { 1 } )  e.  Fin  <->  ( `' g " { 1 } )  e.  Fin )
)
8483elrab 2957 . . . . . 6  |-  ( g  e.  { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O
)  |  ( `' f " { 1 } )  e.  Fin }  <-> 
( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  /\  ( `' g
" { 1 } )  e.  Fin )
)
8584a1i 10 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  (
g  e.  { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  |  ( `' f " {
1 } )  e. 
Fin }  <->  ( g  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O
)  /\  ( `' g " { 1 } )  e.  Fin )
) )
8677, 80, 853bitr4d 276 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  (
g  e.  ( (𝟭 `  O ) " ( ~P O  i^i  Fin )
)  <->  g  e.  {
f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  |  ( `' f " { 1 } )  e.  Fin } ) )
8786eqrdv 2314 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  (
(𝟭 `  O ) "
( ~P O  i^i  Fin ) )  =  {
f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  |  ( `' f " { 1 } )  e.  Fin } )
8817, 18, 87f1oeq123d 5507 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  (
( (𝟭 `  O )  |`  ( ~P O  i^i  Fin ) ) : ( ~P O  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( (𝟭 `  O ) " ( ~P O  i^i  Fin ) )  <->  ( (𝟭 `  O )  |`  Fin ) : ( ~P O  i^i  Fin ) -1-1-onto-> { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  |  ( `' f
" { 1 } )  e.  Fin }
) )
896, 88mpbid 201 1  |-  ( O  e.  V  ->  (
(𝟭 `  O )  |`  Fin ) : ( ~P O  i^i  Fin ) -1-1-onto-> {
f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  |  ( `' f " { 1 } )  e.  Fin } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   E.wrex 2578   {crab 2581   _Vcvv 2822    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   {csn 3674   {cpr 3675   `'ccnv 4725   dom cdm 4726    |` cres 4728   "cima 4729   Rel wrel 4731    Fn wfn 5287   -->wf 5288   -1-1->wf1 5289   -1-1-onto->wf1o 5291   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ^m cmap 6815   Fincfn 6906   0cc0 8782   1c1 8783  𝟭cind 23823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-map 6817  df-en 6907  df-fin 6910  df-ind 23824
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