MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indiscon Structured version   Unicode version

Theorem indiscon 17473
Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is connected. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
indiscon  |-  { (/) ,  A }  e.  Con

Proof of Theorem indiscon
StepHypRef Expression
1 indistop 17058 . 2  |-  { (/) ,  A }  e.  Top
2 inss1 3553 . . 3  |-  ( {
(/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  A }
3 indislem 17056 . . 3  |-  { (/) ,  (  _I  `  A
) }  =  { (/)
,  A }
42, 3sseqtr4i 3373 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  (  _I  `  A ) }
5 indisuni 17059 . . 3  |-  (  _I 
`  A )  = 
U. { (/) ,  A }
65iscon2 17469 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  e.  Con  <->  ( { (/) ,  A }  e.  Top  /\  ( { (/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  (  _I  `  A ) } ) )
71, 4, 6mpbir2an 887 1  |-  { (/) ,  A }  e.  Con
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {cpr 3807    _I cid 4485   ` cfv 5446   Topctop 16950   Clsdccld 17072   Conccon 17466
This theorem is referenced by:  concompid  17486  cvmlift2lem9  24990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-con 17467
  Copyright terms: Public domain W3C validator