MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indiscon Unicode version

Theorem indiscon 17402
Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is connected. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
indiscon  |-  { (/) ,  A }  e.  Con

Proof of Theorem indiscon
StepHypRef Expression
1 indistop 16989 . 2  |-  { (/) ,  A }  e.  Top
2 inss1 3504 . . 3  |-  ( {
(/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  A }
3 indislem 16987 . . 3  |-  { (/) ,  (  _I  `  A
) }  =  { (/)
,  A }
42, 3sseqtr4i 3324 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  (  _I  `  A ) }
5 indisuni 16990 . . 3  |-  (  _I 
`  A )  = 
U. { (/) ,  A }
65iscon2 17398 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  e.  Con  <->  ( { (/) ,  A }  e.  Top  /\  ( { (/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  (  _I  `  A ) } ) )
71, 4, 6mpbir2an 887 1  |-  { (/) ,  A }  e.  Con
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717    i^i cin 3262    C_ wss 3263   (/)c0 3571   {cpr 3758    _I cid 4434   ` cfv 5394   Topctop 16881   Clsdccld 17003   Conccon 17395
This theorem is referenced by:  concompid  17415  cvmlift2lem9  24777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fv 5402  df-top 16886  df-topon 16889  df-cld 17006  df-con 17396
  Copyright terms: Public domain W3C validator