Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indishmph Structured version   Unicode version

Theorem indishmph 17820
 Description: Equinumerous sets equipped with their indiscrete topologies are homeomorph (which means in that particular case that a segment is homeomorph to a circle contrary to what Wikipedia claims). (Contributed by FL, 17-Aug-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
indishmph

Proof of Theorem indishmph
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7109 . 2
2 f1of 5666 . . . . . . 7
3 f1odm 5670 . . . . . . . . . 10
4 vex 2951 . . . . . . . . . . 11
54dmex 5124 . . . . . . . . . 10
63, 5syl6eqelr 2524 . . . . . . . . 9
7 f1ofo 5673 . . . . . . . . 9
8 fornex 5962 . . . . . . . . 9
96, 7, 8sylc 58 . . . . . . . 8
10 elmapg 7023 . . . . . . . 8
119, 6, 10syl2anc 643 . . . . . . 7
122, 11mpbird 224 . . . . . 6
13 indistopon 17055 . . . . . . . 8 TopOn
146, 13syl 16 . . . . . . 7 TopOn
15 cnindis 17346 . . . . . . 7 TopOn
1614, 9, 15syl2anc 643 . . . . . 6
1712, 16eleqtrrd 2512 . . . . 5
18 f1ocnv 5679 . . . . . . . 8
19 f1of 5666 . . . . . . . 8
2018, 19syl 16 . . . . . . 7
21 elmapg 7023 . . . . . . . 8
226, 9, 21syl2anc 643 . . . . . . 7
2320, 22mpbird 224 . . . . . 6
24 indistopon 17055 . . . . . . . 8 TopOn
259, 24syl 16 . . . . . . 7 TopOn
26 cnindis 17346 . . . . . . 7 TopOn
2725, 6, 26syl2anc 643 . . . . . 6
2823, 27eleqtrrd 2512 . . . . 5
29 ishmeo 17781 . . . . 5
3017, 28, 29sylanbrc 646 . . . 4
31 hmphi 17799 . . . 4
3230, 31syl 16 . . 3
3332exlimiv 1644 . 2
341, 33sylbi 188 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  c0 3620  cpr 3807   class class class wbr 4204  ccnv 4869   cdm 4870  wf 5442  wfo 5444  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmap 7010   cen 7098  TopOnctopon 16949   ccn 17278   chmeo 17775   chmph 17776 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-1o 6716  df-map 7012  df-en 7102  df-top 16953  df-topon 16956  df-cn 17281  df-hmeo 17777  df-hmph 17778
 Copyright terms: Public domain W3C validator