Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indispcon Unicode version

Theorem indispcon 23176
Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
indispcon  |-  { (/) ,  A }  e. PCon

Proof of Theorem indispcon
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indistop 16739 . 2  |-  { (/) ,  A }  e.  Top
2 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  x  e.  U. { (/) ,  A } )
3 0ex 4150 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
4 n0i 3460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  U. { (/) ,  A }  ->  -.  U. { (/) ,  A }  =  (/) )
5 prprc2 3737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  {
(/) ,  A }  =  { (/) } )
65unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. { (/) ,  A }  =  U. { (/) } )
73unisn 3843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. { (/)
}  =  (/)
86, 7syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. { (/) ,  A }  =  (/) )
94, 8nsyl2 119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  U. { (/) ,  A }  ->  A  e.  _V )
109adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  A  e.  _V )
11 uniprg 3842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  U. { (/)
,  A }  =  ( (/)  u.  A ) )
123, 10, 11sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  U. { (/) ,  A }  =  ( (/)  u.  A
) )
13 uncom 3319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  u.  A )  =  ( A  u.  (/) )
14 un0 3479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
1513, 14eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  u.  A )  =  A
1612, 15syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  U. { (/) ,  A }  =  A )
172, 16eleqtrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  x  e.  A )
18 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
y  e.  U. { (/)
,  A } )
1918, 16eleqtrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
y  e.  A )
20 ifcl 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  if ( z  =  0 ,  x ,  y )  e.  A
)
2117, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  if ( z  =  0 ,  x ,  y )  e.  A )
2221adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  U. { (/) ,  A }  /\  y  e.  U. { (/)
,  A } )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  if (
z  =  0 ,  x ,  y )  e.  A )
23 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )
2422, 23fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) : ( 0 [,] 1
) --> A )
25 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
26 elmapg 6785 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( 0 [,] 1
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  e.  ( A  ^m  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A ) )
2710, 25, 26sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  e.  ( A  ^m  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A ) )
2824, 27mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  e.  ( A  ^m  (
0 [,] 1 ) ) )
29 iitopon 18383 . . . . . 6  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
30 cnindis 17020 . . . . . 6  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  A  e.  _V )  ->  (
II  Cn  { (/) ,  A } )  =  ( A  ^m  ( 0 [,] 1 ) ) )
3129, 10, 30sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( II  Cn  { (/)
,  A } )  =  ( A  ^m  ( 0 [,] 1
) ) )
3228, 31eleqtrrd 2360 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  e.  ( II  Cn  { (/)
,  A } ) )
33 0elunit 10754 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
34 iftrue 3571 . . . . . 6  |-  ( z  =  0  ->  if ( z  =  0 ,  x ,  y )  =  x )
35 vex 2791 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
3634, 23, 35fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) ` 
0 )  =  x )
3733, 36mp1i 11 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `
 0 )  =  x )
38 1elunit 10755 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
39 ax-1ne0 8806 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  0
40 neeq1 2454 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
z  =/=  0  <->  1  =/=  0 ) )
4139, 40mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  z  =/=  0 )
42 ifnefalse 3573 . . . . . . 7  |-  ( z  =/=  0  ->  if ( z  =  0 ,  x ,  y )  =  y )
4341, 42syl 15 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  if ( z  =  0 ,  x ,  y )  =  y )
44 vex 2791 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
4543, 23, 44fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) ` 
1 )  =  y )
4638, 45mp1i 11 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `
 1 )  =  y )
47 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  ->  ( f ` 
0 )  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) ` 
0 ) )
4847eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  ->  ( ( f `
 0 )  =  x  <->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `  0 )  =  x ) )
49 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  ->  ( f ` 
1 )  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) ` 
1 ) )
5049eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  ->  ( ( f `
 1 )  =  y  <->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `  1 )  =  y ) )
5148, 50anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  ->  ( ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y )  <->  ( (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `  1 )  =  y ) ) )
5251rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  e.  ( II  Cn  { (/)
,  A } )  /\  ( ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `  0
)  =  x  /\  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `
 1 )  =  y ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  { (/) ,  A } ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) )
5332, 37, 46, 52syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  { (/) ,  A } ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) )
5453rgen2a 2609 . 2  |-  A. x  e.  U. { (/) ,  A } A. y  e.  U. { (/) ,  A } E. f  e.  (
II  Cn  { (/) ,  A } ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y )
55 eqid 2283 . . 3  |-  U. { (/)
,  A }  =  U. { (/) ,  A }
5655ispcon 23165 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  e. PCon  <-> 
( { (/) ,  A }  e.  Top  /\  A. x  e.  U. { (/) ,  A } A. y  e.  U. { (/) ,  A } E. f  e.  ( II  Cn  { (/) ,  A } ) ( ( f `  0
)  =  x  /\  ( f `  1
)  =  y ) ) )
571, 54, 56mpbir2an 886 1  |-  { (/) ,  A }  e. PCon
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150   (/)c0 3455   ifcif 3565   {csn 3640   {cpr 3641   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   0cc0 8737   1c1 8738   [,]cicc 10659   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   IIcii 18379  PConcpcon 23161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-ii 18381  df-pcon 23163
  Copyright terms: Public domain W3C validator