MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indistpsALT Unicode version

Theorem indistpsALT 17065
Description: The indiscrete topology on a set  A expressed as a topological space. Here we show how to derive the structural version indistps 17063 from the direct component assignment version indistps2 17064. (Contributed by NM, 24-Oct-2012.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
indistpsALT.a  |-  A  e. 
_V
indistpsALT.k  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  { (/) ,  A } >. }
Assertion
Ref Expression
indistpsALT  |-  K  e. 
TopSp

Proof of Theorem indistpsALT
StepHypRef Expression
1 indistpsALT.a . 2  |-  A  e. 
_V
2 indistopon 17053 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  { (/) ,  A }  e.  (TopOn `  A ) )
3 indistpsALT.k . . . . 5  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  { (/) ,  A } >. }
4 df-tset 13536 . . . . 5  |- TopSet  = Slot  9
5 1lt9 10166 . . . . 5  |-  1  <  9
6 9nn 10129 . . . . 5  |-  9  e.  NN
73, 4, 5, 62strbas 13554 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  =  ( Base `  K
) )
81, 7ax-mp 8 . . 3  |-  A  =  ( Base `  K
)
9 prex 4398 . . . 4  |-  { (/) ,  A }  e.  _V
103, 4, 5, 62strop 13555 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  A }  e.  _V  ->  { (/) ,  A }  =  (TopSet `  K
) )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  { (/) ,  A }  =  (TopSet `  K )
128, 11tsettps 16996 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  e.  (TopOn `  A )  ->  K  e.  TopSp )
131, 2, 12mp2b 10 1  |-  K  e. 
TopSp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   {cpr 3807   <.cop 3809   ` cfv 5445   9c9 10045   ndxcnx 13454   Basecbs 13457  TopSetcts 13523  TopOnctopon 16947   TopSpctps 16949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-tset 13536  df-rest 13638  df-topn 13639  df-top 16951  df-topon 16954  df-topsp 16955
  Copyright terms: Public domain W3C validator