Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indlcim Unicode version

Theorem indlcim 26981
Description: An independent, spanning family extends to an isomorphism from a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
indlcim.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
indlcim.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
indlcim.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
indlcim.v  |-  .x.  =  ( .s `  T )
indlcim.n  |-  N  =  ( LSpan `  T )
indlcim.e  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) ) )
indlcim.t  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
indlcim.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
indlcim.r  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
indlcim.a  |-  ( ph  ->  A : I -onto-> J )
indlcim.l  |-  ( ph  ->  A LIndF  T )
indlcim.s  |-  ( ph  ->  ( N `  J
)  =  C )
Assertion
Ref Expression
indlcim  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMIso 
T ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A    x, B    x, C    x, F    x, I    x, N    x, R    x, T    x, 
.x.    x, X
Allowed substitution hints:    E( x)    J( x)

Proof of Theorem indlcim
StepHypRef Expression
1 indlcim.f . . 3  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
2 indlcim.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  F
)
3 indlcim.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  T
)
4 indlcim.v . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  T )
5 indlcim.e . . 3  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) ) )
6 indlcim.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
7 indlcim.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
8 indlcim.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
9 indlcim.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : I -onto-> J )
10 fofn 5597 . . . . 5  |-  ( A : I -onto-> J  ->  A  Fn  I )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  Fn  I )
12 indlcim.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A LIndF  T )
133lindff 26956 . . . . . 6  |-  ( ( A LIndF  T  /\  T  e.  LMod )  ->  A : dom  A --> C )
1412, 6, 13syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : dom  A --> C )
15 frn 5539 . . . . 5  |-  ( A : dom  A --> C  ->  ran  A  C_  C )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  A  C_  C
)
17 df-f 5400 . . . 4  |-  ( A : I --> C  <->  ( A  Fn  I  /\  ran  A  C_  C ) )
1811, 16, 17sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18frlmup1 26921 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMHom 
T ) )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18islindf5 26980 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A LIndF  T  <->  E : B -1-1-> C ) )
2112, 20mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  E : B -1-1-> C
)
22 indlcim.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  T )
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 22frlmup3 26923 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  E  =  ( N `  ran  A
) )
24 forn 5598 . . . . . 6  |-  ( A : I -onto-> J  ->  ran  A  =  J )
259, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  A  =  J )
2625fveq2d 5674 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  ran  A )  =  ( N `
 J ) )
27 indlcim.s . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  J
)  =  C )
2823, 26, 273eqtrd 2425 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  E  =  C )
29 dff1o5 5625 . . 3  |-  ( E : B -1-1-onto-> C  <->  ( E : B -1-1-> C  /\  ran  E  =  C ) )
3021, 28, 29sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  E : B -1-1-onto-> C )
312, 3islmim 16063 . 2  |-  ( E  e.  ( F LMIso  T
)  <->  ( E  e.  ( F LMHom  T )  /\  E : B -1-1-onto-> C
) )
3219, 30, 31sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMIso 
T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3265   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   dom cdm 4820   ran crn 4821    Fn wfn 5391   -->wf 5392   -1-1->wf1 5393   -onto->wfo 5394   -1-1-onto->wf1o 5395   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    o Fcof 6244   Basecbs 13398  Scalarcsca 13461   .scvsca 13462    gsumg cgsu 13653   LModclmod 15879   LSpanclspn 15976   LMHom clmhm 16024   LMIso clmim 16025   freeLMod cfrlm 26883   LIndF clindf 26945
This theorem is referenced by:  lbslcic  26982
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-hash 11548  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-hom 13482  df-cco 13483  df-prds 13600  df-pws 13602  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-mhm 14667  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-mulg 14744  df-subg 14870  df-ghm 14933  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-abl 15344  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-subrg 15795  df-lmod 15881  df-lss 15938  df-lsp 15977  df-lmhm 16027  df-lmim 16028  df-lbs 16076  df-sra 16173  df-rgmod 16174  df-nzr 16258  df-dsmm 26869  df-frlm 26885  df-uvc 26886  df-lindf 26947
  Copyright terms: Public domain W3C validator